1. No estudo do MHS, é importante reconhecer e entender as equações que descrevem o movimento. Considere um corpo que apresenta oscilação em função do tempo descrita pela equação x(t)=7,00 \cos (2 \pi t+0,75). Determine a velocidade e a aceleração desse corpo como função do tempo e os valores da posição, da velocidade e da aceleração para o tempo t=0.
    A) v(t)=-2,00 \pi \operatorname{sen}(2 \pi t+1,25 \pi)
    a(t)=-8,00 \pi^{2} \operatorname{sen}(2 \pi t+1,25 \pi)
    Quando B) \mathrm{t}=0 \(x(0)=2,00 \cos (2 \pi 0+1,25 \pi)=-1,40 m
    C) \mathrm{v}(\mathrm{t})=-2,00 \pi \operatorname{sen}(2 \pi 0+1,25 \pi)=4,45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
    D) a(0)=-2,00 \pi^{2} \operatorname{sen}(2 \pi 0+1,25 \pi)=56,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2})

Passo 1

O enunciado dá o deslocamento de um Movimento Harmônico Simples como
x(t)=7{,}00\cos\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr)
e pede (i) a velocidade v(t), (ii) a aceleração a(t), e (iii) os valores de x(0), v(0) e a(0). Vamos usar derivação em série temporal e depois avaliar em t=0.

Passo 2

Para achar a velocidade, derivamos x(t) em relação a t. Como \frac{d}{dt}\cos\bigl(\theta(t)\bigr)=-\sin\bigl(\theta(t)\bigr)\,\theta'(t) e aqui \theta(t)=2\pi t+0{,}75 com \theta'(t)=2\pi, obtemos
v(t)=\frac{dx}{dt} =-7{,}00\,(2\pi)\,\sin\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr) =-14\pi\;\sin\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr).

Passo 3

Para a aceleração, derivamos v(t). Como \frac{d}{dt}\sin\bigl(\theta(t)\bigr)=\cos\bigl(\theta(t)\bigr)\,\theta'(t), temos
a(t)=\frac{dv}{dt} =-14\pi\,(2\pi)\,\cos\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr) =-28\pi^{2}\;\cos\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos em t=0. Primeiro a posição:
x(0)=7{,}00\cos\bigl(0+0{,}75\bigr) =7{,}00\cos(0{,}75)\approx7{,}00\times0{,}7317 \approx5{,}12\text{ m}.

Passo 5

Em seguida, a velocidade em t=0:
v(0)=-14\pi\sin(0{,}75) \approx-14\pi\times0{,}6816 \approx-29{,}96\text{ m/s}.

Passo 6

Por fim, a aceleração em t=0:
a(0)=-28\pi^{2}\cos(0{,}75) \approx-28\pi^{2}\times0{,}7317 \approx-201{,}0\text{ m/s}^{2}.

Resposta

v(t)= -14\pi\sin\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr)
a(t)= -28\pi^{2}\cos\bigl(2\pi t+0{,}75\bigr)
x(0)= 5{,}12 m
v(0)= -29{,}96 m/s
a(0)= -201{,}0 m/ s^{2}

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