QUESTÃO 1 (2 pontos): Esboce a região de integração (hachure-a), mude a ordem de integração e calcule a integral
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{y^{3}+1} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;\sqrt{x}\le y\le1\},
mudar a ordem de integração e calcular
\int_{0}^{1}\!\!\int_{\sqrt{x}}^{1}\sqrt{y^{3}+1}\,dy\,dx.
O conteúdo envolve interpretação de domínio em coordenadas xy, troca de ordem de integração e cálculo de integral por substituição.

Passo 2

Para esboçar D, desenhe:
– A curva y=\sqrt{x} (ramo superior de parábola),
– A reta horizontal y=1,
– As retas verticais x=0 e x=1.
A região está entre a curva e y=1, para 0\le x\le1. Marque-a em hachura.

Passo 3

Agora expressamos D trocando a ordem. De \sqrt{x}\le y\le1 obtemos x\le y^{2}. Como x\ge0 e y\le1, temos
0\le y\le1, \quad 0\le x\le y^{2}.
Logo a integral invertida é
\int_{y=0}^{1}\!\!\int_{x=0}^{y^{2}}\sqrt{y^{3}+1}\,dx\,dy.

Passo 4

No interior a função \sqrt{y^{3}+1} independe de x, então
\int_{x=0}^{y^{2}}\sqrt{y^{3}+1}\,dx = \sqrt{y^{3}+1}\,\bigl[x\bigr]_{0}^{y^{2}} = y^{2}\sqrt{y^{3}+1}.
A integral fica
\int_{0}^{1}y^{2}\sqrt{y^{3}+1}\,dy.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{1}y^{2}\sqrt{y^{3}+1}\,dy,
use a substituição
u = y^{3}+1, \quad du = 3y^{2}\,dy \;\Rightarrow\; y^{2}\,dy = \frac{du}{3}.
Quando y=0, u=1; quando y=1, u=2. Assim
\int_{0}^{1}y^{2}\sqrt{y^{3}+1}\,dy = \frac{1}{3}\int_{1}^{2}u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}u^{\tfrac32}\right]_{1}^{2} = \frac{2}{9}\bigl(2^{\tfrac32}-1\bigr).

Passo 6

Como 2^{\tfrac32}=2\sqrt{2}, o resultado final é
\frac{2}{9}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Resposta

\frac{2}{9}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

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