Em um estudo prático sobre o escoamento de grãos em estruturas de armazenamento agrícola, um professor propõe um experimento simplificado para ilustrar a conservação da energia mecânica. Imagine que um grão (modelado como uma esfera) parte do repouso no ponto A, localizado a uma altura de \mathbf{2 , 0} \mathbf{m} em relação ao solo, e desliza por um plano inclinado liso (sem atrito) até o ponto B, cuja altura em relação
ao solo é \mathbf{0 , 2 0 ~ m}. Determine a velocidade do grão ao passar pelo ponto B. Adote \mathrm{g}=10 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei exatamente os dados que aparecem no enunciado e na figura):
  • Dados fornecidos:
    • A altura do ponto A em relação ao solo é 2,0\\ \mathrm{m}.
    • A altura do ponto B em relação ao solo é 0,20\\ \mathrm{m}.
    • O grão parte do repouso em A (ou seja, velocidade inicial em A é zero).
    • O plano é liso (sem atrito).
    • Aceleração da gravidade adotada: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que se pede:
    • Determinar a velocidade do grão ao passar pelo ponto B.

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (explicação detalhada e didática):
  • Energia potencial gravitacional: para um objeto de massa m a uma altura h acima de uma referência, a energia potencial gravitacional é dada por
U = m g h,
onde
  • U é a energia potencial (em joules, \mathrm{J}),
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}),
  • h é a altura (em \mathrm{m}).
  • Energia cinética: para um objeto com velocidade v, a energia cinética é
K = \tfrac{1}{2} m v^2,
onde
  • K é a energia cinética (em \mathrm{J}),
  • v é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
  • Conservação da energia mecânica (explicação): Quando só força conservativa da gravidade atua (isto é, sem atrito nem outras forças não-conservativas), a energia mecânica total se conserva. Isso significa que a soma da energia potencial e da energia cinética no ponto inicial (A) é igual à soma no ponto final (B):
U_A + K_A = U_B + K_B.
Isso vale para qualquer massa m; a massa costuma cancelar nas contas, o que é útil porque não precisamos saber o valor de m do grão.

Passo 3

Escrever a equação de conservação da energia para este problema:
  • No ponto A:
    • velocidade inicial v_A = 0 (parte do repouso) então K_A = \tfrac{1}{2} m v_A^2 = 0.
    • energia potencial U_A = m g h_A.
  • No ponto B:
    • energia potencial U_B = m g h_B.
    • energia cinética K_B = \tfrac{1}{2} m v_B^2, onde v_B é a velocidade que queremos encontrar.
Aplicando conservação:
m g h_A + \tfrac{1}{2} m v_A^2 = m g h_B + \tfrac{1}{2} m v_B^2.
Substituindo v_A=0 simplifica para
m g h_A = m g h_B + \tfrac{1}{2} m v_B^2.

Passo 4

Isolar v_B e simplificar a expressão (explicando cada passo algébrico):
  • Primeiro, notar que todos os termos têm um fator comum m. Como m>0, podemos dividir ambos os lados por m sem problemas. Assim:
g h_A = g h_B + \tfrac{1}{2} v_B^2.
  • Subtrair g h_B de ambos os lados:
g (h_A - h_B) = \tfrac{1}{2} v_B^2.
  • Multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar o \tfrac{1}{2}:
2 g (h_A - h_B) = v_B^2.
  • Tomar a raiz quadrada em ambos os lados (tomando o sinal positivo, já que procuramos velocidade escalar):
v_B = \sqrt{2 g (h_A - h_B)}.
Aqui explico o que cada símbolo significa para ficar bem claro:
  • v_B é a velocidade do grão no ponto B (em \mathrm{m/s}).
  • g é a aceleração da gravidade ( 10\\ \mathrm{m/s^2} dado).
  • h_A e h_B são as alturas de A e B em metros.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (explicando que os valores das alturas foram pegos da figura/enunciado):
  • Peguei da imagem/enunciado: h_A = 2,0\\ \mathrm{m} e h_B = 0,20\\ \mathrm{m}.
  • Também foi dado g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.
Calcular a diferença de altura:
h_A - h_B = 2,0 - 0,20 = 1,80\\ \mathrm{m}.
Calcular o argumento da raiz:
2 g (h_A - h_B) = 2 \cdot 10 \cdot 1,80.
Fazendo as contas passo a passo:
2 \cdot 10 = 20, \qquad 20 \cdot 1,80 = 36.
Portanto
v_B = \sqrt{36} = 6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificação rápida e comentário intuitivo (para te dar confiança):
  • A energia potencial perdida foi transformada em energia cinética. A perda de altura de 1,80\\ \mathrm{m} com g=10\\ \mathrm{m/s^2} dá energia suficiente para atingir v_B=6\\ \mathrm{m/s}.
  • O valor é razoável (não é gigante nem nulo) — se tivesse atrito a velocidade seria menor; como o plano é liso, usamos toda a queda de altura para acelerar o grão.

Resposta

6\\ \mathrm{m/s}

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