Em um estudo prático sobre o escoamento de grãos em estruturas de armazenamento agrícola, um professor propõe um experimento simplificado para ilustrar a conservação da energia mecânica. Imagine que um grão (modelado como uma esfera) parte do repouso no ponto A, localizado a uma altura de
em relação ao solo, e desliza por um plano inclinado liso (sem atrito) até o ponto B, cuja altura em relação
ao solo é
. Determine a velocidade do grão ao passar pelo ponto B. Adote
.
ao solo é
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (listei exatamente os dados que aparecem no enunciado e na figura):
-
Dados fornecidos:
- A altura do ponto A em relação ao solo é
. - A altura do ponto B em relação ao solo é
. - O grão parte do repouso em A (ou seja, velocidade inicial em A é zero).
- O plano é liso (sem atrito).
- Aceleração da gravidade adotada:
.
- A altura do ponto A em relação ao solo é
-
O que se pede:
- Determinar a velocidade do grão ao passar pelo ponto B.
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (explicação detalhada e didática):
- Energia potencial gravitacional: para um objeto de massa
a uma altura acima de uma referência, a energia potencial gravitacional é dada por
onde
-
é a energia potencial (em joules, ), -
é a massa (em ), -
é a aceleração da gravidade (em ), -
é a altura (em ). -
Energia cinética: para um objeto com velocidade
, a energia cinética é
onde
-
é a energia cinética (em ), -
é a velocidade (em ). -
Conservação da energia mecânica (explicação): Quando só força conservativa da gravidade atua (isto é, sem atrito nem outras forças não-conservativas), a energia mecânica total se conserva. Isso significa que a soma da energia potencial e da energia cinética no ponto inicial (A) é igual à soma no ponto final (B):
Isso vale para qualquer massa
; a massa costuma cancelar nas contas, o que é útil porque não precisamos saber o valor de
do grão.
Passo 3
Escrever a equação de conservação da energia para este problema:
-
No ponto A:
- velocidade inicial
(parte do repouso) então . - energia potencial
.
- velocidade inicial
-
No ponto B:
- energia potencial
. - energia cinética
, onde é a velocidade que queremos encontrar.
- energia potencial
Aplicando conservação:
Substituindo
simplifica para
Passo 4
Isolar
e simplificar a expressão (explicando cada passo algébrico):
- Primeiro, notar que todos os termos têm um fator comum
. Como , podemos dividir ambos os lados por sem problemas. Assim:
- Subtrair
de ambos os lados:
- Multiplicar ambos os lados por
para eliminar o :
- Tomar a raiz quadrada em ambos os lados (tomando o sinal positivo, já que procuramos velocidade escalar):
Aqui explico o que cada símbolo significa para ficar bem claro:
-
é a velocidade do grão no ponto B (em ). -
é a aceleração da gravidade ( dado). -
e são as alturas de A e B em metros.
Passo 5
Substituir os valores numéricos (explicando que os valores das alturas foram pegos da figura/enunciado):
- Peguei da imagem/enunciado:
e . - Também foi dado
.
Calcular a diferença de altura:
Calcular o argumento da raiz:
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida e comentário intuitivo (para te dar confiança):
- A energia potencial perdida foi transformada em energia cinética. A perda de altura de
com dá energia suficiente para atingir . - O valor é razoável (não é gigante nem nulo) — se tivesse atrito a velocidade seria menor; como o plano é liso, usamos toda a queda de altura para acelerar o grão.