Um penetrômetro de impacto tem um martelo de \mathbf{5 ~ k g}, que cai de uma altura de \mathbf{0 , 7 5} m. A haste tem massa de \mathbf{8 0 0 g}. O número de golpes necessários para a penetração de \mathbf{2 5} cm foi de 20 impactos. Considerando \mathrm{g}=9,8 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, calcule:
a) O trabalho total realizado pelo martelo.
b) A força média de resistência oferecida pelo solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
  • Massa do martelo: M = 5\\ \mathrm{kg}.
  • Altura de queda do martelo: h = 0{,}75\\ \mathrm{m}.
  • Massa da haste: m = 0{,}800\\ \mathrm{kg}.
  • Número de impactos: N = 20.
  • Penetração total obtida: d = 25\\ \mathrm{cm} = 0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O enunciado pede:
a) Calcular o trabalho total realizado pelo martelo durante os 20 impactos.
b) Calcular a força média de resistência oferecida pelo solo durante a penetração.

Passo 2

Entendendo a energia disponível num impacto: antes de cair, o martelo tem energia potencial gravitacional que, ao cair, vira energia cinética. A energia potencial do martelo antes da queda é dada por
E_{\text{pot}} = M g h,
onde M é a massa do martelo, g a aceleração da gravidade e h a altura. Essa é a energia cinética máxima do martelo imediatamente antes do choque com a haste (ignorando perdas por atrito do ar).
Calculando numericamente:
E_{\text{pot}} = 5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}75 = 36{,}75\\ \mathrm{J}.
Isso significa que, sem considerar a haste, o martelo teria 36{,}75\\ \mathrm{J} de energia no momento do impacto.

Passo 3

Agora: o martelo atinge a haste (que inicialmente está em repouso). Para calcular a energia efetivamente disponível para penetrar o solo precisamos considerar que parte da energia do martelo fica como energia cinética conjunta do martelo + haste após o impacto inelástico. Vou explicar isso com calma.
Quando o martelo (massa M) atinge a haste (massa m) e “gruda”/move-se junto com ela (colisão perfeitamente inelástica idealizada), vale a conservação da quantidade de movimento (momentum):
M v = (M + m) V,
onde v é a velocidade do martelo imediatamente antes do impacto e V é a velocidade comum depois do impacto.
A energia cinética antes do impacto é
K_{\text{antes}} = \tfrac{1}{2} M v^{2}.
Usando v^{2} = 2 g h (obtido da conservação de energia ao cair), temos
K_{\text{antes}} = \tfrac{1}{2} M (2 g h) = M g h,
que é exatamente o E_{\text{pot}} calculado antes.
A energia cinética depois do impacto (do conjunto martelo+haste) é
K_{\text{depois}} = \tfrac{1}{2} (M + m) V^{2}.
Substituindo V = \dfrac{M}{M + m}\,v obtemos
K_{\text{depois}} = \tfrac{1}{2}(M + m)\left(\dfrac{M}{M + m}\right)^{2} v^{2} = \tfrac{1}{2}\dfrac{M^{2}}{M + m} v^{2}.
Usando novamente \tfrac{1}{2} v^{2} = g h (pois \tfrac{1}{2}v^{2} = g h quando multiplicado por M M g h), podemos reescrever
K_{\text{depois}} = M g h \cdot \dfrac{M}{M + m}.
Interpretação física: nem toda a energia inicial do martelo fica disponível para fazer trabalho sobre o solo: a fração \dfrac{M}{M + m} é a parte que permanece como energia cinética do conjunto martelo+haste imediatamente após o choque e que pode ser dissipada no solo ao parar. Portanto, a energia por impacto efetivamente disponível para penetração (no modelo idealizado) é
E_{\text{impacto}} = M g h \cdot \dfrac{M}{M + m}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente a energia por impacto com os valores dados:
M + m = 5 + 0{,}800 = 5{,}800\\ \mathrm{kg},
\dfrac{M}{M + m} = \dfrac{5}{5{,}8} = \dfrac{25}{29} \approx 0{,}8620689655.
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E_{\text{impacto}} = 36{,}75 \cdot \dfrac{25}{29} = \dfrac{36{,}75\cdot 25}{29} = \dfrac{918{,}75}{29} \approx 31{,}68103448\\ \mathrm{J}.
Arredondando com razoável precisão: E_{\text{impacto}} \approx 31{,}68\\ \mathrm{J} por impacto.

Passo 5

Trabalho total realizado em N=20 impactos é simplesmente N vezes a energia por impacto (modelagem em que cada impacto dissipa essa energia no solo):
W_{\text{total}} = N \cdot E_{\text{impacto}} = 20 \cdot 31{,}68103448 \approx 633{,}6206896\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas decimais: W_{\text{total}} \approx 633{,}62\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Agora calculamos a força média de resistência do solo. A definição de trabalho mecânico por uma força constante F_{\text{média}}é sendo deslocamento d é
W = F_{\text{média}} \cdot d.é
Isolando F_{\text{média}}é:
F_{\text{média}} = \dfrac{W_{\text{total}}}{d}.é
Usando W_{\text{total}} \approx 633{,}6206896\\ \mathrm{J} e d = 0{,}25\\ \mathrm{m}, obtemos
F_{\text{média}} \approx \dfrac{633{,}6206896}{0{,}25} = 2\,534{,}4827584\\ \mathrm{N}.é
Arredondando: F_{\text{média}} \approx 2\,534{,}48\\ \mathrm{N}é, ou cerca de 2{,}53\cdot 10^{3}\\ \mathrm{N}.

Resposta

a) W_{\text{total}} \approx 633{,}62\\ \mathrm{J}
b) F_{\text{média}} \approx 2\,534{,}48\\ \mathrm{N}é

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