Um penetrômetro de impacto tem um martelo de
, que cai de uma altura de
m. A haste tem massa de
. O número de golpes necessários para a penetração de
cm foi de 20 impactos. Considerando
, calcule:
a) O trabalho total realizado pelo martelo.
b) A força média de resistência oferecida pelo solo.
a) O trabalho total realizado pelo martelo.
b) A força média de resistência oferecida pelo solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
- Massa do martelo:
. - Altura de queda do martelo:
. - Massa da haste:
. - Número de impactos:
. - Penetração total obtida:
. - Aceleração da gravidade:
.
O enunciado pede:
a) Calcular o trabalho total realizado pelo martelo durante os impactos.
b) Calcular a força média de resistência oferecida pelo solo durante a penetração.
a) Calcular o trabalho total realizado pelo martelo durante os
b) Calcular a força média de resistência oferecida pelo solo durante a penetração.
Passo 2
Entendendo a energia disponível num impacto: antes de cair, o martelo tem energia potencial gravitacional que, ao cair, vira energia cinética. A energia potencial do martelo antes da queda é dada por
onde
é a massa do martelo,
a aceleração da gravidade e
a altura. Essa é a energia cinética máxima do martelo imediatamente antes do choque com a haste (ignorando perdas por atrito do ar).
Calculando numericamente:
Isso significa que, sem considerar a haste, o martelo teria
de energia no momento do impacto.
Passo 3
Agora: o martelo atinge a haste (que inicialmente está em repouso). Para calcular a energia efetivamente disponível para penetrar o solo precisamos considerar que parte da energia do martelo fica como energia cinética conjunta do martelo + haste após o impacto inelástico. Vou explicar isso com calma.
Quando o martelo (massa
) atinge a haste (massa
) e “gruda”/move-se junto com ela (colisão perfeitamente inelástica idealizada), vale a conservação da quantidade de movimento (momentum):
onde
é a velocidade do martelo imediatamente antes do impacto e
é a velocidade comum depois do impacto.
A energia cinética antes do impacto é
Usando
(obtido da conservação de energia ao cair), temos
que é exatamente o
calculado antes.
A energia cinética depois do impacto (do conjunto martelo+haste) é
Substituindo
obtemos
Usando novamente
(pois
quando multiplicado por
dá
), podemos reescrever
Interpretação física: nem toda a energia inicial do martelo fica disponível para fazer trabalho sobre o solo: a fração
é a parte que permanece como energia cinética do conjunto martelo+haste imediatamente após o choque e que pode ser dissipada no solo ao parar. Portanto, a energia por impacto efetivamente disponível para penetração (no modelo idealizado) é
Passo 4
Agora calculamos numericamente a energia por impacto com os valores dados:
Logo
Arredondando com razoável precisão:
por impacto.
Passo 5
Trabalho total realizado em
impactos é simplesmente
vezes a energia por impacto (modelagem em que cada impacto dissipa essa energia no solo):
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 6
Agora calculamos a força média de resistência do solo. A definição de trabalho mecânico por uma força constante
sendo deslocamento
é
Isolando
:
Usando
e
, obtemos
Arredondando:
, ou cerca de
.
Resposta
a)
b)
b)