Em um estudo de qualidade da água realizado por uma equipe de monitoramento ambiental, foram medidas concentrações de matéria orgânica (em mg/L) em diferentes pontos de um rio. Os valores obtidos em 15 coletas foram:
12,15,14,18,16,19,17,13,14,20,18,16,15,17,14
Assuma que a variável de interesse segue distribuiçāo aproximadamente normal. Obtenha o intervalo de confiança de 98 \% para a média populacional.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=15 medidas de concentração (em mg/L):
12,15,14,18,16,19,17,13,14,20,18,16,15,17,14
O que foi pedido: obter o intervalo de confiança de 98\% para a média populacional da concentração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Suposição: distribuição aproximadamente normal.
  • Desconhece-se o desvio-padrão populacional (logo usaremos a distribuição t de Student).
  • Será necessário calcular a média amostral \bar{x}, o desvio-padrão amostral s, o erro padrão SE e o quantil t correspondente a 98\% com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Fórmula e significado:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o número de observações. Aqui:
\sum_{i=1}^{15} x_i = 238, \qquad \bar{x}=\frac{238}{15}=15,866\overline{6}.
Interpretação: \bar{x} é a estimativa pontual da média populacional.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s. Fórmula e significado:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
é a variância amostral e
s=\sqrt{s^2}
é o desvio-padrão amostral (estimativa do desvio-padrão populacional). Para acelerar os cálculos podemos usar a relação com a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 3850,
e
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2.
Substituindo:
\sum_{i=1}^{15}(x_i-\bar{x})^2 = 3850 - 15\left(\frac{238}{15}\right)^2 = 3850 - 3779,6 = 70,4.
Portanto
s^2=\frac{70,4}{14}=5,0285714286, \qquad s=\sqrt{5,0285714286}\approx 2,2424475.
Explicação curta: s mede a dispersão das observações em torno da média amostral; usamos n-1 no denominador para corrigir o viés (graus de liberdade).

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error), que é a incerteza da média amostral como estimativa da média populacional:
SE=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Substituindo:
SE=\frac{2,2424475}{\sqrt{15}}=\frac{2,2424475}{3,872983346}\approx 0,57912.
Interpretação: quanto menor o SE, mais precisa é a estimativa \bar{x}.

Passo 5

Determinar o quantil da distribuição t para o nível de confiança escolhido. Justificativa do uso de t: a população é aproximadamente normal e o desvio-padrão populacional é desconhecido; como n é pequeno ( n<30), usamos a distribuição t com df=n-1.
Para nível de confiança 98\% temos \alpha=0,02 e coeficiente crítico
t_{1-\alpha/2,\;df}=t_{0,99,\;14}.
Consultando uma tabela t ou calculadora, obtém-se
t_{0,99,\;14}\approx 2,624.
(Dica prática: tabelas dão t para vários níveis; aqui usamos o valor para cauda superior 0,01 com 14 graus de liberdade.)

Passo 6

Calcular a margem de erro (ME):
\text{ME}=t_{0,99,14}\cdot SE.
Substituindo os valores:
\text{ME}\approx 2,624\cdot 0,57912\approx 1,520.
Interpretação: a média verdadeira da população está, com 98\% de confiança, dentro de \bar{x}\pm \text{ME}.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança de 98\%:
\text{IC}_{98\%}=\Big(\bar{x}-\text{ME},\;\bar{x}+\text{ME}\Big).
Substituindo \bar{x}=15,866\overline{6} e \text{ME}\approx 1,520:
\text{IC}_{98\%}\approx (15,866\overline{6}-1,520,\;15,866\overline{6}+1,520)
\text{IC}_{98\%}\approx (14,347,\;17,387).
Interpretação final: com 98\% de confiança, a média populacional da concentração de matéria orgânica está entre aproximadamente 14,347 mg/L e 17,387 mg/L.

Resposta

\text{IC}_{98\%}\approx(14,347,\;17,387)

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