Em um estudo de qualidade da água realizado por uma equipe de monitoramento ambiental, foram medidas concentrações de matéria orgânica (em mg/L) em diferentes pontos de um rio. Os valores obtidos em 15 coletas foram:
Assuma que a variável de interesse segue distribuiçāo aproximadamente normal. Obtenha o intervalo de confiança de
para a média populacional.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de
medidas de concentração (em mg/L):
O que foi pedido: obter o intervalo de confiança de
para a média populacional da concentração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Tamanho da amostra:
. - Suposição: distribuição aproximadamente normal.
- Desconhece-se o desvio-padrão populacional (logo usaremos a distribuição
de Student). - Será necessário calcular a média amostral
, o desvio-padrão amostral , o erro padrão e o quantil correspondente a com graus de liberdade.
Passo 2
Calcular a média amostral
. Fórmula e significado:
onde
são as observações e
é o número de observações. Aqui:
Interpretação:
é a estimativa pontual da média populacional.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão amostral
. Fórmula e significado:
é a variância amostral e
é o desvio-padrão amostral (estimativa do desvio-padrão populacional). Para acelerar os cálculos podemos usar a relação com a soma dos quadrados:
e
Substituindo:
Portanto
Explicação curta:
mede a dispersão das observações em torno da média amostral; usamos
no denominador para corrigir o viés (graus de liberdade).
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (standard error), que é a incerteza da média amostral como estimativa da média populacional:
Substituindo:
Interpretação: quanto menor o
, mais precisa é a estimativa
.
Passo 5
Determinar o quantil da distribuição
para o nível de confiança escolhido. Justificativa do uso de
: a população é aproximadamente normal e o desvio-padrão populacional é desconhecido; como
é pequeno (
), usamos a distribuição
com
.
Para nível de confiança temos
e coeficiente crítico
Para nível de confiança
Consultando uma tabela
ou calculadora, obtém-se
(Dica prática: tabelas dão
para vários níveis; aqui usamos o valor para cauda superior
com
graus de liberdade.)
Passo 6
Calcular a margem de erro (ME):
Substituindo os valores:
Interpretação: a média verdadeira da população está, com
de confiança, dentro de
.
Passo 7
Construir o intervalo de confiança de
:
Substituindo
e
:
Interpretação final: com
de confiança, a média populacional da concentração de matéria orgânica está entre aproximadamente
mg/L e
mg/L.