Em um estudo sobre as condições de saúde de certa comunidade, deseja-se estimar o número médio de remédios diferentes consumidos por pessoa por ano. A partir de pesquisas anteriores, assume-se que o desvio padrão populacional da quantidade de remédios consumida por um indivíduo é 3.3. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que, com confiança de
, a média amostral não difira da média populacional por mais de 0.3 unidades?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dá: o desvio padrão populacional da quantidade de remédios por pessoa é
. - Dá: nível de confiança
. - Dá: tolerância (erro máximo permitido) entre a média amostral e a média populacional
unidades. Vou chamar isso de . - Pede: o tamanho mínimo da amostra
necessário para garantir que, com confiança de , a média amostral não difira da média populacional por mais de .
Passo 2
Fórmula que vamos usar e explicação das variáveis.
Quando o desvio padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média tem meio-amplitude (erro máximo) dado por
onde:
-
é o erro máximo tolerado (meio-amplitude do intervalo); -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda superior de probabilidade (ou seja, para confiança ); -
é o desvio padrão populacional; -
é o tamanho da amostra (desconhecido).
Rearranjando para obter
:
Explicação intuitiva: quanto maior a confiança (maior
) ou maior a variabilidade
, maior precisa ser
para manter o erro
pequeno; se quisermos um erro menor,
cresce quadráticamente.
Passo 3
Determinar
para confiança de
.
Confiança
implica
e
. Então precisamos do quantil
ou seja, o valor tal que
para
.
Consultando tabela da normal padrão ou uma calculadora, obtém-se
(Em tabelas costuma aparecer arredondado para
.)
Passo 4
Substituir os números na fórmula e calcular passo a passo.
Usando
,
e
,
calcule primeiro o quociente dentro do parêntese:
calcule primeiro o quociente dentro do parêntese:
Calcule numericamente:
Agora elevar ao quadrado:
Passo 5
Arredondamento para obter o tamanho mínimo da amostra.
O valor calculado de
deve ser arredondado para cima, porque se usar a parte inteira inferior o erro pode exceder
. Assim, o tamanho mínimo inteiro que atende a condição é
Resposta
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