Em um estudo sobre as condições de saúde de certa comunidade, deseja-se estimar o número médio de remédios diferentes consumidos por pessoa por ano. A partir de pesquisas anteriores, assume-se que o desvio padrão populacional da quantidade de remédios consumida por um indivíduo é 3.3. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que, com confiança de 96 \%, a média amostral não difira da média populacional por mais de 0.3 unidades?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dá: o desvio padrão populacional da quantidade de remédios por pessoa é \sigma=3{,}3.
  • Dá: nível de confiança \;96\%.
  • Dá: tolerância (erro máximo permitido) entre a média amostral e a média populacional \;0{,}3 unidades. Vou chamar isso de \varepsilon=0{,}3.
  • Pede: o tamanho mínimo da amostra n necessário para garantir que, com confiança de 96\%, a média amostral não difira da média populacional por mais de \varepsilon.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e explicação das variáveis.
Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média tem meio-amplitude (erro máximo) dado por
\varepsilon = z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \varepsilon é o erro máximo tolerado (meio-amplitude do intervalo);
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda superior de probabilidade \alpha/2 (ou seja, para confiança 1-\alpha);
  • \sigma é o desvio padrão populacional;
  • n é o tamanho da amostra (desconhecido).
Rearranjando para obter n:
n = \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{\varepsilon}\right)^{2}.
Explicação intuitiva: quanto maior a confiança (maior z) ou maior a variabilidade \sigma, maior precisa ser n para manter o erro \varepsilon pequeno; se quisermos um erro menor, n cresce quadráticamente.

Passo 3

Determinar z_{1-\alpha/2} para confiança de 96\%.
Confiança 1-\alpha = 0{,}96 implica \alpha = 0{,}04 e \alpha/2=0{,}02. Então precisamos do quantil
z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}98},
ou seja, o valor tal que \Pr(Z\le z_{0{,}98})=0{,}98 para Z\sim N(0,1).
Consultando tabela da normal padrão ou uma calculadora, obtém-se
z_{0{,}98}\approx 2{,}05375.
(Em tabelas costuma aparecer arredondado para 2{,}054.)

Passo 4

Substituir os números na fórmula e calcular passo a passo.
Usando \sigma=3{,}3, \varepsilon=0{,}3 e z_{0{,}98}\approx 2{,}05375,
calcule primeiro o quociente dentro do parêntese:
\frac{z_{0{,}98}\,\sigma}{\varepsilon} = \frac{2{,}05375\cdot 3{,}3}{0{,}3}.
Calcule numericamente:
2{,}05375\cdot 3{,}3 = 6{,}777375,
\frac{6{,}777375}{0{,}3} = 22{,}59125.
Agora elevar ao quadrado:
n = (22{,}59125)^{2}\approx 510{,}3646.

Passo 5

Arredondamento para obter o tamanho mínimo da amostra.
O valor calculado de n deve ser arredondado para cima, porque se usar a parte inteira inferior o erro pode exceder \varepsilon. Assim, o tamanho mínimo inteiro que atende a condição é
n_{\min}=511.

Resposta

511

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