Em um estudo sobre a produção de papel por eucaliptos plantados na mesma área foi medida a produção individual (em resmas de papel) de uma amostra aleatória simples de 26 árvores. Obteve-se o valor médio de 21 resmas por árvore. Sabe-se que o desvio-padrão populacional da produção de eucaliptos é de 2.94 resmas. Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente ao intervalo de confiança para a produção média em toda a área plantada com 95% de confiança.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) [20.767, 21.233]
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) [20.767, 21.233]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral observada:
(resmas por árvore). - Desvio-padrão populacional conhecido:
(resmas). - Nível de confiança desejado:
.
O que o enunciado pede: construir o intervalo de confiança para a média populacional da produção (ou seja, um intervalo que contenha a verdadeira média com
de confiança) e assinalar a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (explicação passo a passo do método).
Quando o desvio-padrão populacional é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional
com nível de confiança
é dado por:
Quando o desvio-padrão populacional
Aqui:
-
é a média amostral (a estimativa do centro do intervalo); -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda superior de área ; -
é o desvio-padrão populacional conhecido; -
é o tamanho da amostra; -
é o erro padrão da média (como a média amostral varia em torno da média populacional).
Este é o procedimento padrão quando
é conhecido: usa-se a distribuição normal padrão (valor
).
Passo 3
Escolher o valor crítico
para
de confiança.
- Para confiança
temos e . - O quantil
da normal padrão vale aproximadamente .
Portanto usaremos.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média
.
Primeiro a raiz quadrada de :
Primeiro a raiz quadrada de
Agora o erro padrão:
Explicação do que foi feito: dividiu-se o desvio-padrão populacional pelo tamanho efetivo da amostra em termos de raiz quadrada, porque a variabilidade da média amostral reduz com o aumento de
segundo a raiz de
.
Passo 5
Calcular a margem de erro
.
(uma forma rápida de calcular:
, então
.)
Passo 6
Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro à média.
- Limite inferior:
- Limite superior:
Arredondando para três casas decimais (formatos das alternativas):
.
Passo 7
Comparar com as alternativas dadas: a alternativa que coincide com o intervalo calculado é a (b)
.
Resposta
(b)