Em um estudo sobre a produção de papel por eucaliptos plantados na mesma área foi medida a produção individual (em resmas de papel) de uma amostra aleatória simples de 26 árvores. Obteve-se o valor médio de 21 resmas por árvore. Sabe-se que o desvio-padrão populacional da produção de eucaliptos é de 2.94 resmas. Com base nas informações, assinale a alternativa correspondente ao intervalo de confiança para a produção média em toda a área plantada com 95% de confiança.
(a) [20.778,21.222]
(b) [19.870,22.130]
(c) [20.449,21.551]
(d) [19.813,22.187]
(e) [20.767, 21.233]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Tamanho da amostra: n=26.
  • Média amostral observada: \bar{x}=21 (resmas por árvore).
  • Desvio-padrão populacional conhecido: \sigma=2,94 (resmas).
  • Nível de confiança desejado: 95\%.
O que o enunciado pede: construir o intervalo de confiança para a média populacional da produção (ou seja, um intervalo que contenha a verdadeira média com 95\% de confiança) e assinalar a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (explicação passo a passo do método).
Quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional \mu com nível de confiança 1-\alpha é dado por:
\bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa do centro do intervalo);
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda superior de área \alpha/2;
  • \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido;
  • n é o tamanho da amostra;
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (como a média amostral varia em torno da média populacional).
Este é o procedimento padrão quando \sigma é conhecido: usa-se a distribuição normal padrão (valor z).

Passo 3

Escolher o valor crítico z_{1-\alpha/2} para 95\% de confiança.
  • Para confiança 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
  • O quantil z_{0{,}975} da normal padrão vale aproximadamente 1{,}96.
    Portanto usaremos z_{0{,}975}=1{,}96.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Primeiro a raiz quadrada de n:
\sqrt{26}\approx 5{,}099019\dots
Agora o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2{,}94}{\sqrt{26}}\approx\frac{2{,}94}{5{,}099019}\approx 0{,}576614.
Explicação do que foi feito: dividiu-se o desvio-padrão populacional pelo tamanho efetivo da amostra em termos de raiz quadrada, porque a variabilidade da média amostral reduz com o aumento de n segundo a raiz de n.

Passo 5

Calcular a margem de erro ME = z_{0{,}975}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
ME = 1{,}96\times 0{,}576614 \approx 1{,}13016.
(uma forma rápida de calcular: 1{,}96=2-0{,}04, então 1{,}96\cdot 0{,}576614 \approx 2\cdot0{,}576614 - 0{,}04\cdot0{,}576614 = 1{,}153228 - 0{,}02306456 \approx 1{,}13016.)

Passo 6

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro à média.
  • Limite inferior:
\bar{x}-ME = 21 - 1{,}13016 \approx 19{,}86984.
  • Limite superior:
\bar{x}+ME = 21 + 1{,}13016 \approx 22{,}13016.
Arredondando para três casas decimais (formatos das alternativas): [19{,}870,\;22{,}130].

Passo 7

Comparar com as alternativas dadas: a alternativa que coincide com o intervalo calculado é a (b) [19{,}870,\;22{,}130].

Resposta

(b) [19{,}870,\;22{,}130]

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