Os salários dos diretores de uma determinada empresa, distribuem-se Normalmente com média \mathrm{R} \ 8000,00 e desvio-padrão deã\mathrm{R} $500,00 . Qual a probabilidade dos diretores receberem mais de\mathrm{R} $ 7100,00$ ?

Passo 1

O enunciado diz que os salários dos diretores seguem uma distribuição Normal com média \mu=\mathrm{R}\$\,8000{,}00 e desvio-padrão \sigma=\mathrm{R}\$\,500{,}00. A pergunta é: qual a probabilidade de um diretor receber mais de \mathrm{R}\$\,7100{,}00?\n
Informações dadas:
\mu = 8000,\qquad \sigma = 500,\qquad \text{valor de interesse } x_0 = 7100.

Passo 2

Conceito que usamos: quando X é Normal com média \mu e desvio-padrão \sigma escrevemos
X \sim N(\mu,\sigma^2).
A probabilidade pedida é P(X>7100). Trabalhar diretamente com X é chato; por isso transformamos X numa variável Normal padrão Z (média 0, desvio 1) usando a padronização. Vou explicar esse processo no próximo passo com calma.

Passo 3

Padronização (por que e como): definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a variável Normal padrão N(0,1). A vantagem é que existem tabelas (ou funções no computador) que dão P(Z\le z) para qualquer z, chamadas de função distribuição acumulada \Phi(z). Substituímos X=7100 na fórmula:
z_0=\frac{7100-\mu}{\sigma}=\frac{7100-8000}{500}=\frac{-900}{500}=-1{,}8.
Portanto estamos interessados em P\big(Z>-1{,}8\big).

Passo 4

Uso da simetria e interpretação das probabilidades: a curva Normal padrão é simétrica em torno de 0. Assim
P\big(Z>-1{,}8\big)=P\big(Z<1{,}8\big).
Outra forma equivalente é escrever
P(X>7100)=1-P(X\le 7100)=1-\Phi(-1{,}8)=\Phi(1{,}8).
As duas maneiras são a mesma coisa; estou só mostrando a relação para você entender por que passamos de -1{,}8 para 1{,}8.

Passo 5

Consultar a tabela da Normal padrão (ou usar calculadora): o valor da função distribuição acumulada em z=1{,}8 é
\Phi(1{,}8)=0{,}9641.
Esse número vem da tabela padrão da Normal (ou de uma calculadora/funcção estatística). Ele significa que a probabilidade de Z ser menor que 1{,}8 é 0{,}9641.

Passo 6

Conclusão final (interpretação): como P(X>7100)=\Phi(1{,}8), temos a probabilidade procurada igual a 0{,}9641. Em porcentagem isso equivale a 96{,}41\%. Vai dar tudo certo na prova — concentre-se em praticar mais padronizações como esta que elas aparecem muito.

Resposta

0{,}9641

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