Um estudo sobre o mercado de celulares quantificou a probabilidade de mudança de marca, e os valores são representados abaixo:
Proprietário da Marca Probabilidade de mudança para
S A D
S 0,50 0,25 0,25
A 0,15 0,70 0,15
0 0,30 0,30 0,40
A compra do primeiro aparelho celular é feita segundo as seguintes probabilidades: S=50 \%, A=30 \% e O =20 \%.
a) Qual a probabilidade de um indivíduo comprar o terceiro celular da marca S ?
b) Se o terceiro celular é da marca S, qual a probabilidade de o primeiro também ter sido?

Passo 1

O enunciado descreve uma cadeia de Markov com três estados (marcas) S, A e O. A matriz de transição é
P = \begin{pmatrix} 0{,}50 & 0{,}25 & 0{,}25 \\[6pt] 0{,}15 & 0{,}70 & 0{,}15 \\[6pt] 0{,}30 & 0{,}30 & 0{,}40 \end{pmatrix}
e a distribuição inicial (primeiro celular) é
\pi_1 = (0{,}50,\;0{,}30,\;0{,}20).
Para achar a probabilidade de que o terceiro celular seja da marca S, precisamos da distribuição \pi_3 = \pi_1 P^2. Para a segunda questão, usamos a definição de probabilidade condicional
P(X_1=S \mid X_3=S) = \frac{P(X_1=S,\,X_3=S)}{P(X_3=S)}.]

Passo 2

Calculamos P^2 = P \cdot P. Multiplicando as matrizes, obtemos
P^2 = \begin{pmatrix} 0{,}3625 & 0{,}3750 & 0{,}2625 \\[4pt] 0{,}2250 & 0{,}5725 & 0{,}2025 \\[4pt] 0{,}3150 & 0{,}4050 & 0{,}2800 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora \pi_3 = \pi_1 P^2. Em particular, a coordenada correspondente a S é
P(X_3=S) = 0{,}50\cdot0{,}3625 + 0{,}30\cdot0{,}2250 + 0{,}20\cdot0{,}3150 = 0{,}31175.

Passo 4

Para a probabilidade condicional, note que
P(X_1=S,\,X_3=S) = \pi_1(S)\times (P^2)_{SS} = 0{,}50 \times 0{,}3625 = 0{,}18125.
Logo
P(X_1=S \mid X_3=S) = \frac{0{,}18125}{0{,}31175} \approx 0{,}5816.

Resposta

a) P(X_3=S)=0{,}31175 (aprox.\ 31{,}18\%).
b) P(X_1=S\mid X_3=S)\approx0{,}5816 (aprox.\ 58{,}16\%).

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