Num sorteio há 5 urnas, cada uma com 6 bolas. 2 urnas do tipo c1, tem 3 bolas brancas. 2 urnas do tipo c2, tem 2 bolas brancas. Uma urna c3, com 6 bolas brancas.
Escolhemos uma urna ao acaso, qual a probabilidade de a urna escolhida ser a c1, sabendo que a bola é branca?

Passo 1

O enunciado diz que há 5 urnas: 2 urnas do tipo C_1 com 6 bolas das quais 3 são brancas, 2 urnas do tipo C_2 com 6 bolas das quais 2 são brancas, e 1 urna do tipo C_3 com todas as 6 bolas brancas. Escolhe-se uma urna ao acaso e retira-se uma bola, que saiu branca. Queremos a probabilidade de ter sido escolhida uma urna C_1. Vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos o evento B = “bola branca” e os eventos C_1, C_2, C_3 = “urna do tipo correspondente”. Pelo Teorema de Bayes,
P(C_1 \mid B) = \frac{P(B\mid C_1)\,P(C_1)}{P(B)}.

Passo 3

Calculamos as probabilidades condicionais e a priori: P(C_1)=\tfrac{2}{5}, P(C_2)=\tfrac{2}{5}, P(C_3)=\tfrac{1}{5}. P(B\mid C_1)=\tfrac{3}{6}=\tfrac12, P(B\mid C_2)=\tfrac{2}{6}=\tfrac13, P(B\mid C_3)=\tfrac{6}{6}=1.

Passo 4

Usamos a lei da probabilidade total para P(B):
P(B) = P(C_1)P(B\mid C_1) + P(C_2)P(B\mid C_2) + P(C_3)P(B\mid C_3) = \frac{2}{5}\cdot\frac12 + \frac{2}{5}\cdot\frac13 + \frac{1}{5}\cdot1 = \frac{6+4+6}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}.

Passo 5

Agora aplicamos Bayes:
P(C_1\mid B) = \frac{P(B\mid C_1)\,P(C_1)}{P(B)} = \frac{\tfrac12\cdot\tfrac{2}{5}}{\tfrac{8}{15}} = \frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{8}{15}} = \frac{1}{5}\cdot\frac{15}{8} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}.

Resposta

A probabilidade pedida é \tfrac{3}{8}.

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