Havia 3 urnas ( \mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \mathrm{u}_{3} ). Uma delas foi escolhida ao acaso, e extraiu-se uma bola, que verificou-se ser vermelha. Qual a probabilidade de a bola ter vindo da urna 1?
As disposições das bolas em cada urna:
Bolinhas URNA 1 URNA 2 URNA 3
PRETA 3 4 2
BRANCA 1 3 3
VERMELHA 5 2 3

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que uma das três urnas \mathrm{U}_1, \mathrm{U}_2 ou \mathrm{U}_3 é escolhida com probabilidade igual e, em seguida, extrai-se uma bola que resulta vermelha. Aqui usamos conceitos de probabilidade condicionada e o Teorema de Bayes para encontrar
P(\mathrm{U}_1 \mid \text{vermelha}).

Passo 2

Definimos os eventos: \mathrm{U}_i = “foi escolhida a urna i”, com P(\mathrm{U}_i)=\tfrac{1}{3} para i=1,2,3, e \text{R} = “a bola extraída é vermelha”.
Precisamos de P(\mathrm{R}\mid \mathrm{U}_i) e da probabilidade total P(\mathrm{R}).

Passo 3

Calculamos P(\mathrm{R}\mid \mathrm{U}_i) examinando cada urna:
Urna 1: 5 vermelhas em 9 totais,
P(\mathrm{R}\mid \mathrm{U}_1)=\frac{5}{9}.
Urna 2: 2 vermelhas em 9 totais,
P(\mathrm{R}\mid \mathrm{U}_2)=\frac{2}{9}.
Urna 3: 3 vermelhas em 8 totais,
P(\mathrm{R}\mid \mathrm{U}_3)=\frac{3}{8}.

Passo 4

Usamos o Teorema de Bayes:
P(\mathrm{U}_1 \mid \mathrm{R}) =\frac{P(\mathrm{R}\mid \mathrm{U}_1)\,P(\mathrm{U}_1)}{P(\mathrm{R})} \quad\text{com}\quad P(\mathrm{R}) =\sum_{i=1}^{3}P(\mathrm{R}\mid \mathrm{U}_i)\,P(\mathrm{U}_i).
Calculando o denominador:
P(\mathrm{R}) =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{5}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{8}\Bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{7}{9}+\frac{3}{8}\Bigr) =\frac{83}{216}.
E o numerador:
P(\mathrm{R}\mid \mathrm{U}_1)\,P(\mathrm{U}_1) =\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{3} =\frac{5}{27} =\frac{40}{216}.
Portanto,
P(\mathrm{U}_1 \mid \mathrm{R}) =\frac{40/216}{83/216} =\frac{40}{83}.

Resposta

\displaystyle \frac{40}{83}

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