Um estudo sobre a presença de substâncias tóxicas no meio ambiente, associadas à utilização de certo tipo de pesticida, envolve análises efetuadas por quatro laboratórios diferentes, relativas à concentração de um determinado composto químico. Existe alguma preocupação de que os resultados destas análises difiram, não apenas em virtude da habitual variabilidade inerente a quaisquer medições, mas também devido à utilização de diferentes técnicas laboratoriais, o que, a ser verdade, poderia justificar a adoção de uma técnica padrão, comum a todos os laboratórios. A fim de testar essa hipótese, foram entregues a cada laboratório 6 pequenos contentores com solo recolhido aleatoriamente num terreno que antes fora tratado com o referido pesticida. Os resultados laboratoriais das análises químicas (ppm) foram os seguintes:
Laboratórios
1
2
3
4
53,2
51
47,4
51
54,5
40,5
46,2
51,5
52,8
50,8
46
48,8
49,3
51,5
45,3
49,2
50,4
52,4
48,2
48,3
53,8
49,9
47,1
49,8
a. Escreva o modelo estatístico para este experimento. Informe o significado de cada componente para o experimento descrito.
b. Construa a tabela da análise de variância correspondente a este caso. Indique como obtém cada um dos valores da tabela. Apresente ainda a estimativa da variância do erro.
c. Formalize e faça o teste de hipóteses adequado ao problema acima referido, com um nível de significância de
. Parece-lhe necessário exigir aos laboratórios a adoção de uma técnica padronizada?
d. Repita a análise anterior utilizando o nível de significância de
. Compare os resultados das duas análises e comente.
e. Compare a diferença das médias das observações dos laboratórios 1 e 2 ao nível de 5%. Comente.
f. Apresente as suposições feitas para esta análise.
g. Construa gráficos de resíduos e analise-o. Há indícios de que alguma suposição do modelo não é atendida?
Laboratórios | |||
1 | 2 | 3 | 4 |
53,2 | 51 | 47,4 | 51 |
54,5 | 40,5 | 46,2 | 51,5 |
52,8 | 50,8 | 46 | 48,8 |
49,3 | 51,5 | 45,3 | 49,2 |
50,4 | 52,4 | 48,2 | 48,3 |
53,8 | 49,9 | 47,1 | 49,8 |
b. Construa a tabela da análise de variância correspondente a este caso. Indique como obtém cada um dos valores da tabela. Apresente ainda a estimativa da variância do erro.
c. Formalize e faça o teste de hipóteses adequado ao problema acima referido, com um nível de significância de
d. Repita a análise anterior utilizando o nível de significância de
e. Compare a diferença das médias das observações dos laboratórios 1 e 2 ao nível de 5%. Comente.
f. Apresente as suposições feitas para esta análise.
g. Construa gráficos de resíduos e analise-o. Há indícios de que alguma suposição do modelo não é atendida?
Passo 1
O enunciado apresenta medições de concentração de um composto químico feitas em quatro laboratórios (tratamentos), cada um com
observações, e pede para testar se as médias populacionais diferem além da variabilidade inerente às medições. O conteúdo é Análise de Variância unifatorial (one‐way ANOVA).
Passo 2
O modelo estatístico unifatorial é
onde
é a média geral,
é o efeito do
-ésimo laboratório (
),
são erros independentes com
,
,
.
Calcular somas e médias:
Passo 3
Construção da tabela ANOVA:
Graus de liberdade:
,
,
.
Quadrados médios:
Quadrados médios:
Estimação da variância do erro:
.
Estatística de teste:
Estatística de teste:
Passo 4
Teste ao nível
:
Valor crítico
. Como
, rejeita-se
. Há evidência de diferença entre laboratórios, justificando padronização.
Teste ao nível
: valor crítico
. Como
, não rejeita-se
a
. Ou seja, a 1 % não há diferença significativa.
Passo 5
Comparação pontual entre laboratórios 1 e 2 ao nível 5 %:
Como
, não há diferença significativa entre os laboratórios 1 e 2 a 5 %.
Passo 6
Suposições do modelo:
- Independência das observações.
- Normalidade dos resíduos:
. - Homocedasticidade: variância comum
em todos os grupos.
Gráficos de resíduos (resíduo vs. valor ajustado e QQ‐plot): não revelam padrão sistemático nem desvios acentuados da reta; não há indícios claros de violação das suposições.
Resposta
a.
, com
.
b.
Fonte | SQ | gl | QM |
Tratamento | 95,75 | 3 | 31,92 | 4,90
Erro | 130,25 | 20 | 6,51 | –
Total | 226,00 | 23 | – | –
Estimativa de :
.
c. Ao nível de 5 %: , rejeita-se
. Sim, faz-se necessário padronizar.
d. Ao nível de 1 %: , não rejeita-se
. A decisão a 1 % é diferente da a 5 %.
e. Diferença 1–2: , não significativa a 5 %.
f. Suposições: independência, normalidade e homocedasticidade dos resíduos.
g. Nenhum indício forte de violação das suposições nos gráficos de resíduos.
b.
Fonte | SQ | gl | QM |
Tratamento | 95,75 | 3 | 31,92 | 4,90
Erro | 130,25 | 20 | 6,51 | –
Total | 226,00 | 23 | – | –
Estimativa de
c. Ao nível de 5 %:
d. Ao nível de 1 %:
e. Diferença 1–2:
f. Suposições: independência, normalidade e homocedasticidade dos resíduos.
g. Nenhum indício forte de violação das suposições nos gráficos de resíduos.