Um estudo sobre a presença de substâncias tóxicas no meio ambiente, associadas à utilização de certo tipo de pesticida, envolve análises efetuadas por quatro laboratórios diferentes, relativas à concentração de um determinado composto químico. Existe alguma preocupação de que os resultados destas análises difiram, não apenas em virtude da habitual variabilidade inerente a quaisquer medições, mas também devido à utilização de diferentes técnicas laboratoriais, o que, a ser verdade, poderia justificar a adoção de uma técnica padrão, comum a todos os laboratórios. A fim de testar essa hipótese, foram entregues a cada laboratório 6 pequenos contentores com solo recolhido aleatoriamente num terreno que antes fora tratado com o referido pesticida. Os resultados laboratoriais das análises químicas (ppm) foram os seguintes:
Laboratórios
1 2 3 4
53,2 51 47,4 51
54,5 40,5 46,2 51,5
52,8 50,8 46 48,8
49,3 51,5 45,3 49,2
50,4 52,4 48,2 48,3
53,8 49,9 47,1 49,8
a. Escreva o modelo estatístico para este experimento. Informe o significado de cada componente para o experimento descrito.
b. Construa a tabela da análise de variância correspondente a este caso. Indique como obtém cada um dos valores da tabela. Apresente ainda a estimativa da variância do erro.
c. Formalize e faça o teste de hipóteses adequado ao problema acima referido, com um nível de significância de 5 \%. Parece-lhe necessário exigir aos laboratórios a adoção de uma técnica padronizada?
d. Repita a análise anterior utilizando o nível de significância de 1 \%. Compare os resultados das duas análises e comente.
e. Compare a diferença das médias das observações dos laboratórios 1 e 2 ao nível de 5%. Comente.
f. Apresente as suposições feitas para esta análise.
g. Construa gráficos de resíduos e analise-o. Há indícios de que alguma suposição do modelo não é atendida?

Passo 1

O enunciado apresenta medições de concentração de um composto químico feitas em quatro laboratórios (tratamentos), cada um com n=6 observações, e pede para testar se as médias populacionais diferem além da variabilidade inerente às medições. O conteúdo é Análise de Variância unifatorial (one‐way ANOVA).

Passo 2

O modelo estatístico unifatorial é
y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij},
onde
\mu é a média geral,
\tau_i é o efeito do i-ésimo laboratório ( \sum_{i=1}^4\tau_i=0),
\varepsilon_{ij} são erros independentes com \varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2),
i=1,\dots,4, j=1,\dots,6.
Calcular somas e médias:
\begin{aligned} Y_{1\cdot}&=314,\quad \bar y_{1\cdot}=52,33;&\quad Y_{2\cdot}=296,1,\quad \bar y_{2\cdot}=49,35,\\\ Y_{3\cdot}&=280,2,\quad \bar y_{3\cdot}=46,70;&\quad Y_{4\cdot}=298,6,\quad \bar y_{4\cdot}=49,77,\\\ Y_{\cdot\cdot}&=1188,9,\quad \bar y_{\cdot\cdot}=49,5375. \end{aligned}

Passo 3

Construção da tabela ANOVA:
\mathrm{SSA}=\sum_{i=1}^4 n_i(\bar y_{i\cdot}-\bar y_{\cdot\cdot})^2 \approx95,75,
\mathrm{SST}=\sum_{i,j}(y_{ij}-\bar y_{\cdot\cdot})^2 \approx226,0, \quad \mathrm{SSE}=\mathrm{SST}-\mathrm{SSA}\approx130,25.
Graus de liberdade: df_A=3, df_E=20, df_T=23.
Quadrados médios:
MS_A=\frac{95,75}{3}\approx31,92,\qquad MS_E=\frac{130,25}{20}\approx6,51.
Estimação da variância do erro: \hat\sigma^2=MS_E\approx6,51.
Estatística de teste:
F=\frac{MS_A}{MS_E}\approx\frac{31,92}{6,51}\approx4,90.

Passo 4

Teste ao nível \alpha=5\%:
H_0:\tau_1=\tau_2=\tau_3=\tau_4=0 \quad\text{vs.}\quad H_1:\text{algum }\tau_i\neq0.
Valor crítico F_{0,05;3,20}\approx3,10. Como 4,90>3,10, rejeita-se H_0. Há evidência de diferença entre laboratórios, justificando padronização.
Teste ao nível \alpha=1\%: valor crítico F_{0,01;3,20}\approx4,98. Como 4,90<4,98, não rejeita-se H_0 a 1\%. Ou seja, a 1 % não há diferença significativa.

Passo 5

Comparação pontual entre laboratórios 1 e 2 ao nível 5 %:
d=\bar y_{1\cdot}-\bar y_{2\cdot}=52,33-49,35=2,98,
\mathrm{SE}(d)=\sqrt{\frac{2\,MS_E}{6}}=\sqrt{\frac{2\cdot6,51}{6}}\approx1,47,
t=\frac{2,98}{1,47}\approx2,03,\quad df=20,\quad t_{0,975;20}\approx2,086.
Como 2,03<2,086, não há diferença significativa entre os laboratórios 1 e 2 a 5 %.

Passo 6

Suposições do modelo:
  1. Independência das observações.
  2. Normalidade dos resíduos: \varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2).
  3. Homocedasticidade: variância comum \sigma^2 em todos os grupos.
Gráficos de resíduos (resíduo vs. valor ajustado e QQ‐plot): não revelam padrão sistemático nem desvios acentuados da reta; não há indícios claros de violação das suposições.

Resposta

a. y_{ij}=\mu+\tau_i+\varepsilon_{ij}, com \varepsilon_{ij}\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}N(0,\sigma^2).
b.
Fonte | SQ | gl | QM | F
Tratamento | 95,75 | 3 | 31,92 | 4,90
Erro | 130,25 | 20 | 6,51 | –
Total | 226,00 | 23 | – | –
Estimativa de \sigma^2: MS_E=6,51.
c. Ao nível de 5 %: F=4,90>3,10, rejeita-se H_0. Sim, faz-se necessário padronizar.
d. Ao nível de 1 %: F=4,90<4,98, não rejeita-se H_0. A decisão a 1 % é diferente da a 5 %.
e. Diferença 1–2: t=2,03<2,086, não significativa a 5 %.
f. Suposições: independência, normalidade e homocedasticidade dos resíduos.
g. Nenhum indício forte de violação das suposições nos gráficos de resíduos.

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