Questão 3 Verifique se seguinte série converge ou diverge, justificando sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} n+\cos \frac{n}{2}}{n^{2}}
Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n + \cos\!\bigl(\tfrac n2\bigr)}{n^{2}}
e pede para verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo principal é estudo de convergência de séries reais, e vamos usar o teste da comparação.

Passo 2

Observamos que, para todo n, vale
\bigl|\sin n + \cos\!\bigl(\tfrac n2\bigr)\bigr|\le |\sin n| + \bigl|\cos\!\bigl(\tfrac n2\bigr)\bigr|\le 1 + 1 = 2.
Logo, o valor absoluto do termo geral satisfaz
\left|\frac{\sin n + \cos\!\bigl(\tfrac n2\bigr)}{n^{2}}\right| \le \frac{2}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{2}} =2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma série p-comparável com p=2>1, portanto converge. Pelo teste da comparação, como
0\le \left|\frac{\sin n + \cos\!\bigl(\tfrac n2\bigr)}{n^{2}}\right| \le \frac{2}{n^{2}}
e \sum 2/n^2 é convergente, concluímos que a série dada converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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