Questão 4 Encontre a representação em série de potências e determime o seu raio de convergência de f(\sqrt{x}) onde f(0)=1, f^{\prime}(0)=0 e
f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{1+x^{4}}
Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f tal que
f(0)=1,\quad f'(0)=0
e
f''(x)=\frac{1}{1+x^4}.
Queremos achar a série de potências de f(\sqrt{x}) e seu raio de convergência.
Conteúdo usado: expansão em série de potências de uma função racional via série geométrica e integração termo a termo.

Passo 2

Para começar, expandimos
\frac{1}{1+t^4}
em série de potências. Como \frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^\infty u^n para |u|<1, basta tomar u=t^4. Logo, para |t|<1,
\frac{1}{1+t^4} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,t^{4n}.
Isso vale para f''(t) dentro de |t|<1.

Passo 3

Agora integramos termo a termo para obter f'(x). Como f'(0)=0, temos
f'(x) =\int_{0}^{x}f''(t)\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,t^{4n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^{4n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{4n+1}.

Passo 4

Integramos mais uma vez para achar f(x). Usando f(0)=1:
f(x) =1+\int_{0}^{x}f'(t)\,dt =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}\frac{t^{4n+1}}{4n+1}\,dt =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+2}}{(4n+1)(4n+2)}.

Passo 5

Substituímos agora x\mapsto \sqrt{x} para obter a série de f(\sqrt{x}). Como (\sqrt{x})^{4n+2}=x^{2n+1},
f(\sqrt{x}) =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(\sqrt{x})^{4n+2}}{(4n+1)(4n+2)} =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(4n+1)(4n+2)}.

Passo 6

O raio de convergência original da expansão de \frac1{1+t^4} é |t|<1. Ao integrar termo a termo, isso não muda, e ao substituir t=\sqrt{x} exigimos |\sqrt{x}|<1, ou seja |x|<1.
Portanto, o raio de convergência da série de f(\sqrt{x}) é R=1.

Resposta

\boxed{ f(\sqrt{x}) =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(4n+1)(4n+2)}, \quad R=1. }

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