Questão 4 Encontre a representação em série de potências e determime o seu raio de convergência de
onde
e
Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
tal que
e
Queremos achar a série de potências de
e seu raio de convergência.
Conteúdo usado: expansão em série de potências de uma função racional via série geométrica e integração termo a termo.
Conteúdo usado: expansão em série de potências de uma função racional via série geométrica e integração termo a termo.
Passo 2
Para começar, expandimos
em série de potências. Como
para
, basta tomar
. Logo, para
,
Isso vale para
dentro de
.
Passo 3
Agora integramos termo a termo para obter
. Como
, temos
Passo 4
Integramos mais uma vez para achar
. Usando
:
Passo 5
Substituímos agora
para obter a série de
. Como
,
Passo 6
O raio de convergência original da expansão de
é
. Ao integrar termo a termo, isso não muda, e ao substituir
exigimos
, ou seja
.
Portanto, o raio de convergência da série de é
.
Portanto, o raio de convergência da série de