Considere a seguinte função para a variável aleatória X :
f(x)= \begin{cases}-x & \text { se }-1 \leq x<0 \\\ x & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}
Calcule a probabilidade P\left(-\frac{1}{2}<X<\frac{1}{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá a função peça a peça
f(x)= \begin{cases}-x & \text{se }-1 \leq x<0,\\[4pt] x & \text{se }0 \leq x \leq 1,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário,}\end{cases}á
e pede a probabilidade
P\!\left(-\tfrac{1}{2}<X<\tfrac{1}{2}\right).
Informações relevantes que temos: os valores de f(x) em cada intervalo e o intervalo de interesse \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right). Não há outras condições ocultas.]
Passo 2
Primeiro, é útil verificar que f é uma função densidade de probabilidade (pdf) válida — isto garante que probabilidades são dadas por integrais de f. Para ser pdf, f(x) deve ser não negativa e integrar 1 em todo o eixo real.
Passo 3
Verificando não negatividade: para x\in[-1,0) tem-se -x\ge 0 e para x\in[0,1] tem-se x\ge 0. Fora desses intervalos f(x)=0. Logo f(x)\ge 0 para todo x.
Somando as duas partes obtemos \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1. Portanto f é de fato uma pdf.
Passo 7
Agora calculamos a probabilidade pedida. Como o intervalo \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) atravessa 0, dividimos a integral em duas partes conforme a definição de f: