Considere a seguinte função para a variável aleatória X :
f(x)= \begin{cases}-x & \text { se }-1 \leq x<0 \\\ x & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}á
Calcule a probabilidade P\left(-\frac{1}{2}<X<\frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função peça a peça
f(x)= \begin{cases}-x & \text{se }-1 \leq x<0,\\[4pt] x & \text{se }0 \leq x \leq 1,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário,}\end{cases}á
e pede a probabilidade
P\!\left(-\tfrac{1}{2}<X<\tfrac{1}{2}\right).
Informações relevantes que temos: os valores de f(x) em cada intervalo e o intervalo de interesse \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right). Não há outras condições ocultas.]

Passo 2

Primeiro, é útil verificar que f é uma função densidade de probabilidade (pdf) válida — isto garante que probabilidades são dadas por integrais de f. Para ser pdf, f(x) deve ser não negativa e integrar 1 em todo o eixo real.

Passo 3

Verificando não negatividade: para x\in[-1,0) tem-se -x\ge 0 e para x\in[0,1] tem-se x\ge 0. Fora desses intervalos f(x)=0. Logo f(x)\ge 0 para todo x.

Passo 4

Verificando normalização calculamos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_{0}^{1} x\,dx.
Calculemos cada integral separadamente para confirmar que o total vale 1.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{-1}^{0} (-x)\,dx.
A primitiva de -x é -\dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando nos limites:
\int_{-1}^{0} (-x)\,dx = \left[-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0} = \left(-\dfrac{0^{2}}{2}\right) - \left(-\dfrac{(-1)^{2}}{2}\right) = 0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} x\,dx.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1^{2}}{2} - \dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{1}{2}.
Somando as duas partes obtemos \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1. Portanto f é de fato uma pdf.

Passo 7

Agora calculamos a probabilidade pedida. Como o intervalo \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right) atravessa 0, dividimos a integral em duas partes conforme a definição de f:
P\!\left(-\tfrac{1}{2}<X<\tfrac{1}{2}\right)=\int_{-1/2}^{0} (-x)\,dx + \int_{0}^{1/2} x\,dx.

Passo 8

Calcule a primeira parte \displaystyle \int_{-1/2}^{0} (-x)\,dx.
A primitiva é -\dfrac{x^{2}}{2}, logo
\int_{-1/2}^{0} (-x)\,dx = \left[-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1/2}^{0} = 0 - \left(-\dfrac{(-1/2)^{2}}{2}\right) = \dfrac{1}{8}.

Passo 9

Calcule a segunda parte \displaystyle \int_{0}^{1/2} x\,dx.
A primitiva é \dfrac{x^{2}}{2}, logo
\int_{0}^{1/2} x\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/2} = \dfrac{(1/2)^{2}}{2} - 0 = \dfrac{1}{8}.

Passo 10

Somando as duas contribuições:
P\!\left(-\tfrac{1}{2}<X<\tfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{4}.
Isso é igual a 0,25. Bom trabalho — apesar do pânico inicial, o cálculo ficou bem simples ao dividir o intervalo e usar primitivas básicas!

Resposta

\tfrac{1}{4}

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