Para um estudo sobre o tempo médio que os alunos de Sistema de Informação gastam em projetos de programação, foi coletada uma amostra de 15 alunos. A média amostral foi de 12 horas, e o desvio padrão amostral foi de 3 horas. Construa o intervalo de confiança com nível de confiança de
e interprete. R:[9,69;14,31]
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
horas. - Desvio padrão amostral:
horas. - Nível de confiança pedido:
.
O que é pedido:
- Construir o intervalo de confiança de
para a média verdadeira do tempo que alunos gastam em projetos de programação. - Interpretar esse intervalo.
Passo 2
Qual método usar e por quê (sem resolver ainda).
- Quando a variância/população é desconhecida (aqui só temos
) e a amostra é pequena ( ), usamos a distribuição de Student em vez da normal . - A fórmula do intervalo de confiança para a média é:
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o quantil crítico da distribuição com graus de liberdade, correspondente a ; -
é o desvio padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é nível de confiança (aqui ), então .
Passo 3
Calcular os parâmetros necessários:
- Graus de liberdade:
. - Como a confiança é
, temos . O valor crítico é o tal que a área à direita é para gl. - Pegando na tabela da
de Student (ou calculadora), o valor crítico é aproximadamente
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (standard error):
Agora aproximamos
:
portanto
Passo 5
Calcular a margem de erro
:
(Explicando rapidamente: multiplica-se o valor crítico
pelo erro padrão para saber quanto se “alarga” a média para obter o intervalo.)
Passo 6
Construir o intervalo de confiança:
Cálculo dos extremos:
Arredondei para duas casas decimais por clareza (padrão comum em estatística aplicada).
Passo 7
Interpretação (em linguagem simples e encorajadora):
- O intervalo de confiança de
para a média verdadeira do tempo é horas. - Isso significa que, com o procedimento usado (coletar amostras de tamanho 15 e construir o intervalo da mesma forma), cerca de
dos intervalos obtidos conteriam a verdadeira média populacional. Não se deve dizer que há de probabilidade de que a média verdadeira esteja neste intervalo específico — o correto é falar do procedimento repetido como acima. - Em linguagem prática: com muita confiança (99%), o tempo médio real que os alunos gastam em projetos está entre cerca de
e horas. Força aí — é um intervalo relativamente amplo porque a amostra é pequena e o desvio é moderado.