Para um estudo sobre o tempo médio que os alunos de Sistema de Informação gastam em projetos de programação, foi coletada uma amostra de 15 alunos. A média amostral foi de 12 horas, e o desvio padrão amostral foi de 3 horas. Construa o intervalo de confiança com nível de confiança de 99 \% e interprete. R:[9,69;14,31]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Tamanho da amostra: n=15.
  • Média amostral: \bar{x}=12 horas.
  • Desvio padrão amostral: s=3 horas.
  • Nível de confiança pedido: 99\%.
O que é pedido:
  • Construir o intervalo de confiança de 99\% para a média verdadeira do tempo que alunos gastam em projetos de programação.
  • Interpretar esse intervalo.

Passo 2

Qual método usar e por quê (sem resolver ainda).
  • Quando a variância/população é desconhecida (aqui só temos s) e a amostra é pequena ( n<30), usamos a distribuição t de Student em vez da normal z.
  • A fórmula do intervalo de confiança para a média é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=12);
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade, correspondente a \alpha/2;
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=3);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=15);
  • \alpha é 1- nível de confiança (aqui \alpha=1-0,99=0,01), então \alpha/2=0,005.

Passo 3

Calcular os parâmetros necessários:
  • Graus de liberdade: n-1=15-1=14.
  • Como a confiança é 99\%, temos \alpha/2=0,005. O valor crítico é o t tal que a área à direita é 0,005 para 14 gl.
  • Pegando na tabela da t de Student (ou calculadora), o valor crítico é aproximadamente
t_{0,005,\;14}\approx 2,977.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{15}}.
Agora aproximamos \sqrt{15}:
\sqrt{15}\approx 3,873,
portanto
\text{SE}\approx\frac{3}{3,873}\approx 0,775.

Passo 5

Calcular a margem de erro M:
M = t_{0,005,\;14}\times \text{SE}\approx 2,977\times 0,775\approx 2,305.
(Explicando rapidamente: multiplica-se o valor crítico t pelo erro padrão para saber quanto se “alarga” a média para obter o intervalo.)

Passo 6

Construir o intervalo de confiança:
\bar{x}\pm M = 12 \pm 2,305.
Cálculo dos extremos:
\text{limite inferior}=12-2,305=9,695\approx 9,69,
\text{limite superior}=12+2,305=14,305\approx 14,31.
Arredondei para duas casas decimais por clareza (padrão comum em estatística aplicada).

Passo 7

Interpretação (em linguagem simples e encorajadora):
  • O intervalo de confiança de 99\% para a média verdadeira do tempo é [9,69;\;14,31] horas.
  • Isso significa que, com o procedimento usado (coletar amostras de tamanho 15 e construir o intervalo da mesma forma), cerca de 99\% dos intervalos obtidos conteriam a verdadeira média populacional. Não se deve dizer que há 99\% de probabilidade de que a média verdadeira esteja neste intervalo específico — o correto é falar do procedimento repetido como acima.
  • Em linguagem prática: com muita confiança (99%), o tempo médio real que os alunos gastam em projetos está entre cerca de 9,69 e 14,31 horas. Força aí — é um intervalo relativamente amplo porque a amostra é pequena e o desvio é moderado.

Resposta

[9,69;\;14,31]

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