(2,0 pontos) Cansado de aguardar pelo resultado do Censo Demográfico, um gestor público resolveu fazer uma pesquisa amostral para obter informações sobre a renda de moradores de uma determinada comunidade recentemente instalada numa área da cidade. Para isso ele coleta dados de uma amostra aleatória de 36 indivíduos e obtém média R$3.000 e desvio padrāo amostral de R$ 540.
a) Se ele quer construir um intervalo de confiança para a média, qual fórmula deve usar? Justifique. (1,0)
b) Determine um intervalo de confiança para a renda média dessa comunidade considerando um coeficiente de confiança igual a 95 \%(1,0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) Indicar qual fórmula deve ser usada para construir um intervalo de confiança (IC) para a média e justificar essa escolha.
  • (b) Calcular um IC de 95\% para a renda média da comunidade usando os dados da amostra.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Tamanho da amostra: n=36.
  • Média amostral: \bar{x}=R\$\,3{.}000.
  • Desvio padrão amostral: s=R\$\,540.
  • Nível de confiança pedido: 95\% (logo \alpha=0{,}05).

Passo 2

O que significa escolher a fórmula correta? Para construir um IC para a média de uma população desconhecida, precisamos saber se a variância populacional \sigma^2 é conhecida ou não e qual é o tamanho da amostra. Aqui a variância populacional NÃO é conhecida (o enunciado deu apenas s, o desvio padrão amostral). Quando \sigma é desconhecida usa-se a distribuição t de Student em vez da distribuição normal padrão Z.
A fórmula geral do IC para a média, quando \sigma é desconhecida, é:
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=R\$\,3{.}000).
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, correspondente a probabilidade de cauda \alpha/2 (para IC bilateral).
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=R\$\,540).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=36).
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error).
Justificativa curta e intuitiva: como \sigma é desconhecida usamos s para estimar a variabilidade; isso introduz mais incerteza, que é corretamente modelada pela distribuição t (mais “com caudas pesadas” que a normal). Mesmo com n=36 (razoavelmente grande), a escolha mais correta e conservadora é usar t com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Determinar o nível crítico t_{\alpha/2,\;n-1}.
  • Aqui \alpha=0{,}05, então \alpha/2=0{,}025.
  • Os graus de liberdade são n-1=36-1=35.
  • Consultando tabela de t (ou calculadora estatística), obtemos
t_{0{,}025,\;35}\approx 2{,}0301.
Explicando: esse valor significa que a área à direita de t_{0{,}025,35} é 0{,}025, então a área central entre -t e +t é 95\%.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média ( \text{SE}):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{R\$\,540}{\sqrt{36}}=\frac{R\$\,540}{6}=R\$\,90.
Explicando: \sqrt{n}=\sqrt{36}=6. Dividimos o desvio padrão amostral por \sqrt{n} porque a média amostral tem variabilidade menor que observações individuais.

Passo 5

Calcular a margem de erro (ME):
\text{ME}=t_{0{,}025,35}\times\text{SE}\approx 2{,}0301\times R\$\,90 \approx R\$\,182{,}709.
Arredondando para centavos:
\text{ME}\approx R\$\,182{,}71.

Passo 6

Montar o intervalo de confiança:
\bar{x}\pm\text{ME}=R\$\,3{.}000\pm R\$\,182{,}709.
Calculando os extremos:
\text{Limite inferior}=R\$\,3{.}000 - R\$\,182{,}709 \approx R\$\,2{.}817{,}29,
\text{Limite superior}=R\$\,3{.}000 + R\$\,182{,}709 \approx R\$\,3{.}182{,}71.
Interpretação rápida e amigável: com 95\% de confiança, o verdadeiro valor médio da renda na comunidade está entre aproximadamente R\$\,2{.}817{,}29 e R\$\,3{.}182{,}71. Isso significa que, se repetíssemos amostragens do mesmo tipo muitas vezes, cerca de 95\% dos ICs construídos dessa forma conteriam a média verdadeira.

Passo 7

Resumo prático para a prova (pegar de cabeça):
  • Se \sigma desconhecido use t com n-1 graus de liberdade.
  • Fórmula: \displaystyle \bar{x}\pm t_{\alpha/2,n-1}\dfrac{s}{\sqrt{n}}.
  • Calcule \text{SE}=\dfrac{s}{\sqrt{n}}, ache t_{\alpha/2,n-1} na tabela, multiplique para obter a margem e some/subtraia da média.

Resposta

(a) Usar o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student: \displaystyle \bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}, pois a variância populacional é desconhecida e usamos s para estimá-la (graus de liberdade n-1).
(b) Intervalo de 95\%: \left(R\$\,2{.}817{,}29,\;R\$\,3{.}182{,}71\right).

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