(2,0 pontos) Cansado de aguardar pelo resultado do Censo Demográfico, um gestor público resolveu fazer uma pesquisa amostral para obter informações sobre a renda de moradores de uma determinada comunidade recentemente instalada numa área da cidade. Para isso ele coleta dados de uma amostra aleatória de 36 indivíduos e obtém média R$3.000 e desvio padrāo amostral de R$ 540.
a) Se ele quer construir um intervalo de confiança para a média, qual fórmula deve usar? Justifique.
b) Determine um intervalo de confiança para a renda média dessa comunidade considerando um coeficiente de confiança igual a
a) Se ele quer construir um intervalo de confiança para a média, qual fórmula deve usar? Justifique.
b) Determine um intervalo de confiança para a renda média dessa comunidade considerando um coeficiente de confiança igual a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) Indicar qual fórmula deve ser usada para construir um intervalo de confiança (IC) para a média e justificar essa escolha.
- (b) Calcular um IC de
para a renda média da comunidade usando os dados da amostra.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio padrão amostral:
. - Nível de confiança pedido:
(logo ).
Passo 2
O que significa escolher a fórmula correta? Para construir um IC para a média de uma população desconhecida, precisamos saber se a variância populacional
é conhecida ou não e qual é o tamanho da amostra. Aqui a variância populacional NÃO é conhecida (o enunciado deu apenas
, o desvio padrão amostral). Quando
é desconhecida usa-se a distribuição
de Student em vez da distribuição normal padrão
.
A fórmula geral do IC para a média, quando
é desconhecida, é:
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil da distribuição de Student com graus de liberdade, correspondente a probabilidade de cauda (para IC bilateral). -
é o desvio padrão amostral (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é o erro padrão da média (standard error).
Justificativa curta e intuitiva: como
é desconhecida usamos
para estimar a variabilidade; isso introduz mais incerteza, que é corretamente modelada pela distribuição
(mais “com caudas pesadas” que a normal). Mesmo com
(razoavelmente grande), a escolha mais correta e conservadora é usar
com
graus de liberdade.
Passo 3
Determinar o nível crítico
.
- Aqui
, então . - Os graus de liberdade são
. - Consultando tabela de
(ou calculadora estatística), obtemos
Explicando: esse valor significa que a área à direita de
é
, então a área central entre
e
é
.
Passo 4
Calcular o erro padrão da média (
):
Explicando:
. Dividimos o desvio padrão amostral por
porque a média amostral tem variabilidade menor que observações individuais.
Passo 5
Calcular a margem de erro (ME):
Arredondando para centavos:
Passo 6
Montar o intervalo de confiança:
Calculando os extremos:
Interpretação rápida e amigável: com
de confiança, o verdadeiro valor médio da renda na comunidade está entre aproximadamente
e
. Isso significa que, se repetíssemos amostragens do mesmo tipo muitas vezes, cerca de
dos ICs construídos dessa forma conteriam a média verdadeira.
Passo 7
Resumo prático para a prova (pegar de cabeça):
- Se
desconhecido use com graus de liberdade. - Fórmula:
. - Calcule
, ache na tabela, multiplique para obter a margem e some/subtraia da média.
Resposta
(a) Usar o intervalo de confiança baseado na distribuição
de Student:
, pois a variância populacional é desconhecida e usamos
para estimá-la (graus de liberdade
).
(b) Intervalo de :
.
(b) Intervalo de