Uma pesquisa foi realizada para estimar a altura média de alunos do curso de Engenharia. Foram coletadas as alturas (em centímetros) em uma amostra de 30 alunos, conforme os dados abaixo:
168,172,165,170,169,175,160,164,178,167,171,173,169,168,166,174,172,176,165,168,170,162, 161, 177, 174, 163, 169, 171, 166, 175
Com base nos dados: Construa o intervalo de confiança para a real média da altura dos alunos com um nível de confiança de 90 \%.

Passo 1

O enunciado pede: construir o intervalo de confiança para a média real da altura dos alunos com nível de confiança de 90\%.
Informações fornecidas (peguei os valores do enunciado):
  • Amostra de n=30 alturas (em centímetros):
168,\,172,\,165,\,170,\,169,\,175,\,160,\,164,\,178,\,167,\,171,\,173,\,169,\,168,\,166,\,174,\,172,\,176,\,165,\,168,\,170,\,162,\,161,\,177,\,174,\,163,\,169,\,171,\,166,\,175.
  • Nível de confiança: 90\%.
  • O que se pede: intervalo de confiança para a média populacional das alturas (em cm).

Passo 2

Decisão do método (sem usar jargões complicados): como temos uma amostra e o desvio padrão da população não foi fornecido, usamos o intervalo de confiança para média baseado na distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Isso é o procedimento padrão quando a variância populacional é desconhecida — a fórmula e o motivo vou explicar no próximo passo.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança e significado dos termos:
\text{IC}_{1-\alpha}:\quad \bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo de forma direta:
  • \bar{x} é a média amostral (estimativa pontual da média populacional).
  • s é o desvio padrão amostral (estima a variabilidade das observações).
  • n é o tamanho da amostra.
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade que corta área \alpha/2 em cada cauda (para 90\%, temos \alpha=0{,}10, logo usamos t_{0{,}95,\,n-1}).
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto, em média, a média amostral varia de uma amostra para outra).
Agora calculamos passo a passo \bar{x}.
Soma das observações (somei todos os números dados):
\sum_{i=1}^{30} x_i = 5078.
Logo a média amostral é
\bar{x}=\frac{5078}{30}=\frac{2539}{15}\approx 169,266\overline{6}\\ \text{cm}.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão amostral s. Vou usar a fórmula baseada na soma dos quadrados:
s^2=\frac{1}{n-1}\Bigg(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\Bigg).
Primeiro calculei a soma dos quadrados das observações:
\sum_{i=1}^{30} x_i^2 = 860\,206.
Já temos n\bar{x}^2 = 30\cdot\bar{x}^2. Como \bar{x}=\dfrac{2539}{15}, tem-se
\bar{x}^2=\frac{2539^2}{225}=\frac{6\,446\,521}{225}\approx 28\,651{,}204444\quad\Rightarrow\quad n\bar{x}^2\approx 859\,536{,}133333.
Substituindo na fórmula de s^2:
s^2=\frac{1}{29}\Big(860\,206 - 859\,536{,}133333\Big)\approx\frac{669{,}866667}{29}\approx 23{,}0988506.
Portanto o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}\approx\sqrt{23{,}0988506}\approx 4{,}80509\\ \text{cm}.
(A explicação curta: s mede a dispersão típica das alturas na amostra; dividido por \sqrt{n} dá a incerteza da média.)

Passo 5

Erro padrão da média:
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4{,}80509}{\sqrt{30}}.
Como \sqrt{30}\approx 5{,}47723, obtemos
\text{SE}\approx \frac{4{,}80509}{5{,}47723}\approx 0{,}87743\\ \text{cm}.

Passo 6

Escolha do quantil t: para nível de confiança 90\% temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05. Com n-1=29 graus de liberdade, o valor crítico é
t_{0{,}95,\,29}\approx 1{,}699.
(Este valor vem da tabela da t de Student ou de calculadora estatística.)

Passo 7

Cálculo da margem de erro e dos limites do intervalo:
\text{margem} = t_{0{,}95,29}\cdot\text{SE}\approx 1{,}699\times 0{,}87743\approx 1{,}4909\\ \text{cm}.
Limite inferior:
\bar{x}-\text{margem}\approx 169{,}266\overline{6}-1{,}4909\approx 167{,}7758\\ \text{cm}.
Limite superior:
\bar{x}+\text{margem}\approx 169{,}266\overline{6}+1{,}4909\approx 170{,}7576\\ \text{cm}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) para apresentação:
\text{IC}_{90\%}\approx\bigl(167{,}78\\ \text{cm},\;170{,}76\\ \text{cm}\bigr).

Passo 8

Interpretação curta e motivadora: esse intervalo significa que, com 90\% de confiança pelo método utilizado, a verdadeira média das alturas dos alunos do curso está entre cerca de 167{,}78\\ \text{cm} e 170{,}76\\ \text{cm}. Está dando uma faixa razoável considerando o tamanho da amostra. Bom trabalho por encarar os cálculos — você está quase lá!

Resposta

\bigl(167{,}78\\ \text{cm},\\\ 170{,}76\\ \text{cm}\bigr)

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