Uma pesquisa foi realizada para estimar a altura média de alunos do curso de Engenharia. Foram coletadas as alturas (em centímetros) em uma amostra de 30 alunos, conforme os dados abaixo:
, 161, 177, 174, 163, 169, 171, 166, 175
Com base nos dados: Construa o intervalo de confiança para a real média da altura dos alunos com um nível de confiança de
.
Passo 1
O enunciado pede: construir o intervalo de confiança para a média real da altura dos alunos com nível de confiança de
.
Informações fornecidas (peguei os valores do enunciado):
- Amostra de
alturas (em centímetros):
- Nível de confiança:
. - O que se pede: intervalo de confiança para a média populacional das alturas (em cm).
Passo 2
Decisão do método (sem usar jargões complicados): como temos uma amostra e o desvio padrão da população não foi fornecido, usamos o intervalo de confiança para média baseado na distribuição
de Student com
graus de liberdade. Isso é o procedimento padrão quando a variância populacional é desconhecida — a fórmula e o motivo vou explicar no próximo passo.
Passo 3
Fórmula do intervalo de confiança e significado dos termos:
Explicando cada símbolo de forma direta:
-
é a média amostral (estimativa pontual da média populacional). -
é o desvio padrão amostral (estima a variabilidade das observações). -
é o tamanho da amostra. -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade que corta área em cada cauda (para , temos , logo usamos ). -
é o erro padrão da média (quanto, em média, a média amostral varia de uma amostra para outra).
Agora calculamos passo a passo
.
Soma das observações (somei todos os números dados):
Logo a média amostral é
Passo 4
Cálculo do desvio padrão amostral
. Vou usar a fórmula baseada na soma dos quadrados:
Primeiro calculei a soma dos quadrados das observações:
Já temos
. Como
, tem-se
Substituindo na fórmula de
:
Portanto o desvio padrão amostral é
(A explicação curta:
mede a dispersão típica das alturas na amostra; dividido por
dá a incerteza da média.)
Passo 5
Erro padrão da média:
Como
, obtemos
Passo 6
Escolha do quantil
: para nível de confiança
temos
e
. Com
graus de liberdade, o valor crítico é
(Este valor vem da tabela da
de Student ou de calculadora estatística.)
Passo 7
Cálculo da margem de erro e dos limites do intervalo:
Limite inferior:
Limite superior:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) para apresentação:
Passo 8
Interpretação curta e motivadora: esse intervalo significa que, com
de confiança pelo método utilizado, a verdadeira média das alturas dos alunos do curso está entre cerca de
e
. Está dando uma faixa razoável considerando o tamanho da amostra. Bom trabalho por encarar os cálculos — você está quase lá!