Um estudo sociológico pretend a abordar o impacto do rendimento salarial em diferentes aspetos da sociedade, incluindo a necessidade/possibilidade de colocar os filhos em atividades extracurriculares. Desta forma, recolheram-se dados de 12 individuos de uma amostra adequada, registando o rendimento mensal (em euros) e o tempo (em horas) em atividades extracurriculares dos filhos por semana, designados de seguida por Rendimento e Tempo, respetivamente.
Rendimento x_{i} 2600 1400 2150 2750 950 3650 3200 2450 2600 1550 1850 1700
Tempo y_{i} 6 5 4 6 5 5 5 5 4 6 5 6
Determine a percentagem de variação da variável Tempo que é explicada pela variação linear de Rendimento:
□ %. (Escreva NA, caso não seja aplicável.)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a percentagem da variação da variável Tempo que é explicada pela variação linear da variável Rendimento.
Os dados fornecidos (12 observações) são:
Rendimento x_i: 2600,\;1400,\;2150,\;2750,\;950,\;3650,\;3200,\;2450,\;2600,\;1550,\;1850,\;1700
Tempo y_i: 6,\;5,\;4,\;6,\;5,\;5,\;5,\;5,\;4,\;6,\;5,\;6
O que se pede é a percentagem de variância de Y explicada por um modelo linear em X, isto é, o coeficiente de determinação R^{2} expresso em percentagem.

Passo 2

Conceito e fórmulas importantes (explicação didática):
  • O coeficiente de determinação R^{2} mede a fracção da variação total da variável resposta Y explicada pela regressão linear em X. Em termos simples: quanto da variação de Tempo é explicada pela variação linear de Rendimento.
  • Para uma regressão linear simples, quando se usa a correlação de Pearson entre X e Y, vale
R^{2} = r^{2},
onde r é o coeficiente de correlação de Pearson dado por
r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}\,\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^{2}}}.
  • Aqui:
    • n é o número de observações ( n=12);
    • \bar{x} é a média amostral dos x_i;
    • \bar{y} é a média amostral dos y_i;
    • \sum (x_{i}-\bar{x})^{2} é a soma dos quadrados dos desvios de X (denotada S_{xx});
    • \sum (y_{i}-\bar{y})^{2} é a soma dos quadrados dos desvios de Y (denotada S_{yy});
    • \sum (x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y}) é a soma dos produtos dos desvios (denotada S_{xy}).
  • Depois de calcular r obtemos R^{2}=r^{2} e a percentagem é 100\cdot R^{2}\,\%.

Passo 3

Calcular as médias \bar{x} e \bar{y}.
Soma dos rendimentos:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 26850.
Portanto
\bar{x}=\frac{26850}{12}=2237{,}5.
Soma dos tempos:
\sum_{i=1}^{12} y_i = 62.
Portanto
\bar{y}=\frac{62}{12}=5{,}166\overline{6}.

Passo 4

Calcular S_{xx}=\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}, S_{yy}=\sum (y_{i}-\bar{y})^{2} e S_{xy}=\sum (x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y}).
Fazendo os desvios e somas (mostraremos os resultados finais das somas):
  • S_{xx}=\displaystyle\sum_{i=1}^{12}(x_{i}-\bar{x})^{2}=6\,770\,625.
  • S_{yy}=\displaystyle\sum_{i=1}^{12}(y_{i}-\bar{y})^{2}=5{,}666\overline{6}=\frac{17}{3}.
    (isto resulta da contagem dos desvios de y: quatro valores iguais a 0{,}833\overline{3}, dois iguais a -1{,}166\overline{6} e seis iguais a -0{,}166\overline{6}.)
  • S_{xy}=\displaystyle\sum_{i=1}^{12}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=-625.
(Se quiseres verificar, pode-se montar a tabela com cada x_i,\;y_i,\;x_i-\bar{x},\;y_i-\bar{y},\;(x_i-\bar{x})^2,\;(y_i-\bar{y})^2,\;(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) e somar as colunas; aqui estão as somas já calculadas.)

Passo 5

Calcular o coeficiente de correlação r.
Usando a fórmula:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}=\frac{-625}{\sqrt{6\,770\,625\cdot 5{,}666\overline{6}}}.
Calcular o produto no denominador:
6\,770\,625\cdot 5{,}666\overline{6}=6\,770\,625\cdot\frac{17}{3}=38\,366\,875.
Logo
\sqrt{S_{xx}S_{yy}}=\sqrt{38\,366\,875}\approx 6\,194{,}100\\ (\text{mais precisamente } \approx 6194{,}100\ldots).
Portanto
r=\frac{-625}{\sqrt{38\,366\,875}} \approx -0{,}100885\ldots
(ou seja, correlação negativa fraca, aproximadamente -0{,}101.)

Passo 6

Calcular R^{2} e converter em percentagem.
R^{2}=r^{2}=\frac{625^{2}}{38\,366\,875}=\frac{390\,625}{38\,366\,875}=0{,}01018125.
Convertendo para percentagem:
100\cdot R^{2}=100\cdot 0{,}01018125=1{,}018125\%.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
\text{Percentagem explicada}\approx 1{,}02\%.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: isto significa que apenas cerca de 1{,}02\% da variabilidade do Tempo semanal em atividades extracurriculares é explicada por uma relação linear com o Rendimento. Em termos práticos, a relação linear entre Rendimento e Tempo neste conjunto de dados é praticamente nula — ou seja, o rendimento não explica quase nada do tempo dedicado às atividades, pelo menos linearmente. Continua focado: perceber que um R^{2} pequeno significa que outras variáveis ou relações não-lineares podem ser importantes.

Resposta

1,02%

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