Um estudo sociológico pretend a abordar o impacto do rendimento salarial em diferentes aspetos da sociedade, incluindo a necessidade/possibilidade de colocar os filhos em atividades extracurriculares. Desta forma, recolheram-se dados de 12 individuos de uma amostra adequada, registando o rendimento mensal (em euros) e o tempo (em horas) em atividades extracurriculares dos filhos por semana, designados de seguida por Rendimento e Tempo, respetivamente.
| Rendimento
|
2600 | 1400 | 2150 | 2750 | 950 | 3650 | 3200 | 2450 | 2600 | 1550 | 1850 | 1700 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tempo
|
6 | 5 | 4 | 6 | 5 | 5 | 5 | 5 | 4 | 6 | 5 | 6 |
Determine a percentagem de variação da variável Tempo que é explicada pela variação linear de Rendimento:
□ %. (Escreva NA, caso não seja aplicável.)
□ %. (Escreva NA, caso não seja aplicável.)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a percentagem da variação da variável Tempo que é explicada pela variação linear da variável Rendimento.
Os dados fornecidos (12 observações) são:
Os dados fornecidos (12 observações) são:
Rendimento
:
Tempo
:
O que se pede é a percentagem de variância de
explicada por um modelo linear em
, isto é, o coeficiente de determinação
expresso em percentagem.
Passo 2
Conceito e fórmulas importantes (explicação didática):
- O coeficiente de determinação
mede a fracção da variação total da variável resposta explicada pela regressão linear em . Em termos simples: quanto da variação de Tempo é explicada pela variação linear de Rendimento. - Para uma regressão linear simples, quando se usa a correlação de Pearson entre
e , vale
onde
é o coeficiente de correlação de Pearson dado por
- Aqui:
-
é o número de observações ( ); -
é a média amostral dos ; -
é a média amostral dos ; -
é a soma dos quadrados dos desvios de (denotada ); -
é a soma dos quadrados dos desvios de (denotada ); -
é a soma dos produtos dos desvios (denotada ).
-
- Depois de calcular
obtemos e a percentagem é .
Passo 3
Calcular as médias
e
.
Soma dos rendimentos:
Portanto
Soma dos tempos:
Portanto
Passo 4
Calcular
,
e
.
Fazendo os desvios e somas (mostraremos os resultados finais das somas):
-
-
(isto resulta da contagem dos desvios de: quatro valores iguais a , dois iguais a e seis iguais a .) -
(Se quiseres verificar, pode-se montar a tabela com cada
e somar as colunas; aqui estão as somas já calculadas.)
Passo 5
Calcular o coeficiente de correlação
.
Usando a fórmula:
Calcular o produto no denominador:
Logo
Portanto
(ou seja, correlação negativa fraca, aproximadamente
.)
Passo 6
Calcular
e converter em percentagem.
Convertendo para percentagem:
Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
Passo 7
Interpretação curta e incentivo: isto significa que apenas cerca de
da variabilidade do Tempo semanal em atividades extracurriculares é explicada por uma relação linear com o Rendimento. Em termos práticos, a relação linear entre Rendimento e Tempo neste conjunto de dados é praticamente nula — ou seja, o rendimento não explica quase nada do tempo dedicado às atividades, pelo menos linearmente. Continua focado: perceber que um R^{2} pequeno significa que outras variáveis ou relações não-lineares podem ser importantes.
Resposta
1,02%