Estudos anteriores mostram que o desvio padrão da altura dos homens que cursam o Instituto Federal Farroupilha é de 10 cm . Querendo estimar a atura média de todos os homens dessa universidade, com tolerância de 3 cm e probabilidade de 0,955 , quantas observações deverão ser utilizadas?
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantas observações são necessárias para estimar a altura média de todos os homens da universidade com tolerância (erro máximo admitido) de
cm e probabilidade (nível de confiança) de
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Desvio padrão populacional conhecido:
cm. - Tolerância (erro máximo):
cm. - Probabilidade/confiança desejada:
(ou ). - Pergunta: quantas observações (tamanho da amostra
) devem ser usadas?
Passo 2
Entendendo o objetivo: queremos que o intervalo de confiança para a média tenha semi-amplitude igual a
. Quando
é conhecido, a fórmula que relaciona o tamanho da amostra
, o desvio padrão
, o valor crítico da normal padrão
e a tolerância
é
Explicando cada termo:
-
é o número de observações que queremos encontrar. -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área central desejada seja a probabilidade de confiança. Mais precisamente, se a confiança é , então satisfaz para . -
é o desvio padrão populacional conhecido. -
é a tolerância (semi-amplitude do intervalo), ou seja, o erro máximo permitido entre a estimativa da média amostral e a média verdadeira.
Passo 3
Determinar
a partir da confiança
. Primeiro encontramos
:
Então
. Precisamos do quantil
tal que
Consultando a tabela da normal padrão ou usando a inversa da normal, obtemos
Observação: o valor
dá área
central, muito próximo de
; usando maior precisão chegamos em
. Ambos levam ao mesmo arredondamento final neste problema.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do tamanho da amostra:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Calcular passo a passo:
Elevando ao quadrado:
Passo 6
Interpretação e arredondamento:
deve ser um número inteiro e precisamos de amostra suficiente para que o erro não ultrapasse
. Portanto sempre arredondamos
para cima (ceiling), mesmo que o valor decimal seja
. Assim
Resposta
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