Estudos anteriores mostram que o desvio padrão da altura dos homens que cursam o Instituto Federal Farroupilha é de 10 cm . Querendo estimar a atura média de todos os homens dessa universidade, com tolerância de 3 cm e probabilidade de 0,955 , quantas observações deverão ser utilizadas?

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantas observações são necessárias para estimar a altura média de todos os homens da universidade com tolerância (erro máximo admitido) de 3 cm e probabilidade (nível de confiança) de 0,955.\n
Informações fornecidas:
  • Desvio padrão populacional conhecido: \sigma=10 cm.
  • Tolerância (erro máximo): E=3 cm.
  • Probabilidade/confiança desejada: 0,955 (ou 95{,}5\%).
  • Pergunta: quantas observações (tamanho da amostra n) devem ser usadas?

Passo 2

Entendendo o objetivo: queremos que o intervalo de confiança para a média tenha semi-amplitude igual a E. Quando \sigma é conhecido, a fórmula que relaciona o tamanho da amostra n, o desvio padrão \sigma, o valor crítico da normal padrão z_{\alpha/2} e a tolerância E é
n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
Explicando cada termo:
  • n é o número de observações que queremos encontrar.
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área central desejada seja a probabilidade de confiança. Mais precisamente, se a confiança é 1-\alpha, então z_{\alpha/2} satisfaz \Pr(-z_{\alpha/2}<Z<z_{\alpha/2})=1-\alpha para Z\sim N(0,1).
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido.
  • E é a tolerância (semi-amplitude do intervalo), ou seja, o erro máximo permitido entre a estimativa da média amostral e a média verdadeira.

Passo 3

Determinar z_{\alpha/2} a partir da confiança 1-\alpha=0{,}955. Primeiro encontramos \alpha:
\alpha = 1-0{,}955 = 0{,}045.
Então \alpha/2 = 0{,}0225. Precisamos do quantil z tal que
\Pr(Z < z) = 1-\frac{\alpha}{2} = 1-0{,}0225 = 0{,}9775.
Consultando a tabela da normal padrão ou usando a inversa da normal, obtemos
z_{\alpha/2}\approx 2{,}005.
Observação: o valor z=2{,}00 dá área 0{,}9545 central, muito próximo de 0{,}955; usando maior precisão chegamos em z\approx 2{,}005. Ambos levam ao mesmo arredondamento final neste problema.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do tamanho da amostra:
n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
Substituindo \,z_{\alpha/2}\approx 2{,}005, \sigma=10 e E=3:
n=\left(\frac{2{,}005\cdot 10}{3}\right)^2.

Passo 5

Calcular passo a passo:
\frac{2{,}005\cdot 10}{3}=\frac{20{,}05}{3}\approx 6{,}6833\ldots
Elevando ao quadrado:
n\approx (6{,}6833\ldots)^2 \approx 44{,}68\ldots

Passo 6

Interpretação e arredondamento: n deve ser um número inteiro e precisamos de amostra suficiente para que o erro não ultrapasse E. Portanto sempre arredondamos n para cima (ceiling), mesmo que o valor decimal seja 44{,}6\ldots. Assim
n=45.

Resposta

45

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