Sendo \hat{p}=\hat{q}=0,5, população infinita, d=0,05 e (1-\alpha) \%=95,5 \%, determinar o tamanho amostral.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o tamanho amostral:
  • Estimador de proporção: \hat{p}=0{,}5 (portanto \hat{q}=1-\hat{p}=0{,}5).
  • População considerada infinita (logo não há correção por população finita).
  • Margem de erro desejada: d=0{,}05.
  • Nível de confiança: (1-\alpha)\% = 95{,}5\%.
O que se pede: determinar o tamanho da amostra n necessário para que o intervalo de confiança para a proporção tenha margem de erro d=0{,}05 ao nível de confiança 95{,}5\%.

Passo 2

Entendendo a relação entre margem de erro, nível de confiança e tamanho amostral (a fórmula que vamos usar).
  • Quando estimamos uma proporção, a estimativa tem erro padrão dado por
\text{erro padrão} = \sqrt{\frac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}},ã
onde:
  • \hat{p} é a proporção estimada (ou um palpite para p),
  • \hat{q}=1-\hat{p},
  • n é o tamanho da amostra.
  • Para um nível de confiança dado, usamos um quantil da distribuição normal padrão chamado z_{\,\alpha/2}. Esse z multiplica o erro padrão para dar a margem de erro:
d = z_{\,\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}.
  • A partir dessa equação isolamos n. Resolver para n é uma álgebra simples: elevar ao quadrado e isolar n.

Passo 3

Derivação da fórmula do tamanho amostral a partir de d = z_{\,\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}}.
  • Elevar ambos os lados ao quadrado:
d^{2} = z_{\,\alpha/2}^{2}\cdot\frac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}.
  • Isolar n:
n = \frac{z_{\,\alpha/2}^{2}\,\hat{p}\,\hat{q}}{d^{2}}.
Esta é a fórmula que vamos usar. Explicando cada símbolo:
  • n: tamanho mínimo da amostra necessário (o que queremos).
  • z_{\,\alpha/2}: quantil da normal para o nível de confiança (por exemplo, para 95\% é 1{,}96; para 95{,}5\% veremos abaixo).
  • \hat{p} e \hat{q}: estimativa da proporção e seu complementar.
  • d: margem de erro desejada.
Observação prática: quando não se tem boa estimativa de \hat{p}, costuma-se usar \hat{p}=0{,}5 porque isso maximiza o produto \hat{p}\hat{q} (dá a maior variabilidade) e fornece um tamanho amostral conservador (garante a margem de erro).

Passo 4

Determinar z_{\,\alpha/2} para o nível de confiança dado.
  • O nível de confiança é (1-\alpha)\% = 95{,}5\%. Isso significa que a área central sob a curva normal é 0{,}955. Então cada cauda tem área \alpha/2 = (1-0{,}955)/2 = 0{,}0225.
  • Precisamos do quantil z tal que a área à esquerda seja 1-0{,}0225 = 0{,}9775.
  • Na prática é comum observar que z\approx 2{,}00 dá uma área central aproximadamente 95{,}45\%, muito próximo de 95{,}5\%. Portanto podemos usar
z_{\,\alpha/2} \approx 2{,}00.
(Essa é a escolha usual quando o enunciado apresenta 95{,}5\%, pois corresponde aos “2 desvios-padrão” da normal.)

Passo 5

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo.
  • Já temos \hat{p}=0{,}5, \hat{q}=0{,}5, d=0{,}05 e z_{\,\alpha/2}=2{,}00.
  • Calcule \hat{p}\hat{q}:
\hat{p}\hat{q} = 0{,}5\times 0{,}5 = 0{,}25.
  • Calcule d^{2}:
d^{2} = (0{,}05)^{2} = 0{,}0025.
  • Calcule z^{2}\hat{p}\hat{q}:
z^{2}\hat{p}\hat{q} = (2{,}00)^{2}\times 0{,}25 = 4\times 0{,}25 = 1.
  • Agora o tamanho amostral:
n = \frac{1}{0{,}0025} = 400.

Passo 6

Arredondamento e observações finais.
  • O tamanho amostral deve ser inteiro e devemos sempre arredondar para cima quando houver parte fracionária (para garantir a margem de erro). Aqui o resultado já é inteiro: n=400.
  • Observação prática: se alguém usasse o nível de confiança 95\% com z=1{,}96, o n seria um pouco menor (cerca de 385), então a diferença entre 95\% e 95{,}5\% é pequena, mas com 95{,}5\% e z=2 obtemos o n mais arredondado e simples.
Força aí — com n=400 você garante que a margem de erro para a proporção seja 5\% com confiança de aproximadamente 95{,}5\%.

Resposta

n=400

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