Sendo
, população infinita,
e
, determinar o tamanho amostral.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o tamanho amostral:
- Estimador de proporção:
(portanto ). - População considerada infinita (logo não há correção por população finita).
- Margem de erro desejada:
. - Nível de confiança:
.
O que se pede: determinar o tamanho da amostra
necessário para que o intervalo de confiança para a proporção tenha margem de erro
ao nível de confiança
.
Passo 2
Entendendo a relação entre margem de erro, nível de confiança e tamanho amostral (a fórmula que vamos usar).
- Quando estimamos uma proporção, a estimativa tem erro padrão dado por
onde:
-
é a proporção estimada (ou um palpite para ), -
, -
é o tamanho da amostra. - Para um nível de confiança dado, usamos um quantil da distribuição normal padrão chamado
. Esse multiplica o erro padrão para dar a margem de erro:
- A partir dessa equação isolamos
. Resolver para é uma álgebra simples: elevar ao quadrado e isolar .
Passo 3
Derivação da fórmula do tamanho amostral a partir de
.
- Elevar ambos os lados ao quadrado:
- Isolar
:
Esta é a fórmula que vamos usar. Explicando cada símbolo:
-
: tamanho mínimo da amostra necessário (o que queremos). -
: quantil da normal para o nível de confiança (por exemplo, para é ; para veremos abaixo). -
e : estimativa da proporção e seu complementar. -
: margem de erro desejada.
Observação prática: quando não se tem boa estimativa de
, costuma-se usar
porque isso maximiza o produto
(dá a maior variabilidade) e fornece um tamanho amostral conservador (garante a margem de erro).
Passo 4
Determinar
para o nível de confiança dado.
- O nível de confiança é
. Isso significa que a área central sob a curva normal é . Então cada cauda tem área . - Precisamos do quantil
tal que a área à esquerda seja . - Na prática é comum observar que
dá uma área central aproximadamente , muito próximo de . Portanto podemos usar
(Essa é a escolha usual quando o enunciado apresenta
, pois corresponde aos “2 desvios-padrão” da normal.)
Passo 5
Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo.
- Já temos
, , e . - Calcule
:
- Calcule
:
- Calcule
:
- Agora o tamanho amostral:
Passo 6
Arredondamento e observações finais.
- O tamanho amostral deve ser inteiro e devemos sempre arredondar para cima quando houver parte fracionária (para garantir a margem de erro). Aqui o resultado já é inteiro:
. - Observação prática: se alguém usasse o nível de confiança
com , o seria um pouco menor (cerca de ), então a diferença entre e é pequena, mas com e obtemos o mais arredondado e simples.
Força aí — com
você garante que a margem de erro para a proporção seja
com confiança de aproximadamente
.