Qual é o tamanho necessário da amostragem que um alfaiate deve usar se deseja estimar o tempo médio que os fregueses levam ao trocador?
Ele acha que o desvio padrão é de 3 minutos, com base em amostras anteriores, e deseja estimar a média a menos de 1 minuto, usando um nível de 95,5 \%.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostra que o alfaiate deve usar para estimar o tempo médio que os fregueses levam ao trocador, com margem de erro menor que 1 minuto e nível de confiança de 95,5\%.
Informações dadas:
\sigma = 3 minutos (desvio padrão estimado a partir de amostras anteriores).
Margem de erro desejada: E = 1 minuto.
Nível de confiança: 95,5\% (isto define o quantil da normal padrão que vamos usar).

Passo 2

Entendendo a ideia (aula rápida): quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional \mu tem a forma
\bar{X} \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (estimativa de \mu);
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança;
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui conhecido/estimado);
  • n é o tamanho da amostra.
O termo
z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
é a margem de erro do intervalo. Nós queremos que essa margem seja no máximo E.

Passo 3

Fórmula que vamos usar: igualando a margem de erro ao valor desejado E,
E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • E: margem de erro desejada (aqui 1).
  • z_{1-\alpha/2}: valor crítico da normal padrão (depende do nível de confiança).
  • \sigma: desvio padrão (aqui 3).
  • n: tamanho da amostra que queremos encontrar.

Passo 4

Encontrando o valor crítico z_{1-\alpha/2}. Primeiro calculamos \alpha:
\alpha = 1 - 0,955 = 0,045.
Então
\alpha/2 = 0,0225 \quad\text{e}\quad 1-\alpha/2 = 0,9775.
O z procurado é
z_{1-\alpha/2} = \Phi^{-1}(0,9775),
onde \Phi^{-1} é a função quantil da normal padrão. Pela tabela da normal padrão (ou pela observação de que z=2 \Phi(2)\approx 0,97725), obtemos aproximadamente
z_{1-\alpha/2} \approx 2{,}00.
(Em palavras: o nível de confiança 95{,}5\% corresponde, aproximadamente, a 2 desvios-padrão.)

Passo 5

Isolando n na equação da margem de erro: a partir de
E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
fazemos álgebra para achar n:
\sqrt{n} = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}
e elevando ao quadrado,
n = \left( z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E} \right)^{2}.

Passo 6

Agora substituímos os valores conhecidos: z_{1-\alpha/2}\approx 2{,}00, \sigma=3, E=1:
n = \left( 2{,}00 \cdot \frac{3}{1} \right)^{2} = (6{,}00)^{2} = 36{,}00.

Passo 7

Interpretação e arredondamento: o tamanho de amostra n deve ser um número inteiro e, quando o cálculo der um número não inteiro, devemos arredondar para cima (sempre) para garantir que a margem de erro seja pelo menos tão pequena quanto a desejada. Aqui o resultado é exatamente 36, que já é inteiro, então
n = 36.
Força aí — com 36 observações o alfaiate conseguirá estimar o tempo médio com margem de erro máxima de 1 minuto ao nível de confiança 95{,}5\%.

Resposta

\;36

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