Qual é o tamanho necessário da amostragem que um alfaiate deve usar se deseja estimar o tempo médio que os fregueses levam ao trocador?
Ele acha que o desvio padrão é de 3 minutos, com base em amostras anteriores, e deseja estimar a média a menos de 1 minuto, usando um nível de
.
Ele acha que o desvio padrão é de 3 minutos, com base em amostras anteriores, e deseja estimar a média a menos de 1 minuto, usando um nível de
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o tamanho da amostra que o alfaiate deve usar para estimar o tempo médio que os fregueses levam ao trocador, com margem de erro menor que 1 minuto e nível de confiança de
.
Informações dadas:
minutos (desvio padrão estimado a partir de amostras anteriores).
Margem de erro desejada: minuto.
Nível de confiança: (isto define o quantil da normal padrão que vamos usar).
Margem de erro desejada:
Nível de confiança:
Passo 2
Entendendo a ideia (aula rápida): quando o desvio padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média populacional
tem a forma
onde:
-
é a média amostral (estimativa de ); -
é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança; -
é o desvio padrão populacional (aqui conhecido/estimado); -
é o tamanho da amostra.
O termo
é a margem de erro do intervalo. Nós queremos que essa margem seja no máximo
.
Passo 3
Fórmula que vamos usar: igualando a margem de erro ao valor desejado
,
Aqui cada símbolo significa:
-
: margem de erro desejada (aqui ). -
: valor crítico da normal padrão (depende do nível de confiança). -
: desvio padrão (aqui ). -
: tamanho da amostra que queremos encontrar.
Passo 4
Encontrando o valor crítico
. Primeiro calculamos
:
Então
O
procurado é
onde
é a função quantil da normal padrão. Pela tabela da normal padrão (ou pela observação de que
dá
), obtemos aproximadamente
(Em palavras: o nível de confiança
corresponde, aproximadamente, a
desvios-padrão.)
Passo 5
Isolando
na equação da margem de erro: a partir de
fazemos álgebra para achar
:
e elevando ao quadrado,
Passo 6
Agora substituímos os valores conhecidos:
,
,
:
Passo 7
Interpretação e arredondamento: o tamanho de amostra
deve ser um número inteiro e, quando o cálculo der um número não inteiro, devemos arredondar para cima (sempre) para garantir que a margem de erro seja pelo menos tão pequena quanto a desejada. Aqui o resultado é exatamente
, que já é inteiro, então
Força aí — com
observações o alfaiate conseguirá estimar o tempo médio com margem de erro máxima de
minuto ao nível de confiança
.