Estudos experimentais de uma decomposição específica de A em um reator em batelada, usando unidade de pressão, mostram exatamente a mesma taxa a duas temperaturas diferentes:
Experimento 1(\mathrm{~T}=400 \mathrm{~K}):-r_{A}=2,3 P_{A}^{2}
Experimento 2(\mathrm{~T}=500 \mathrm{~K}) : -r_{A}=2,3 P_{A}^{2}
\begin{gathered} -r_{A}=\mathrm{mol} / \mathrm{m}^{3} \cdot \mathrm{~s} \\\ p_{A}=\text { atm. } \end{gathered}
Pede-se:
Transforme as expressões de taxa em termos de concentração e então calcule a energia de ativação.
R=82,06 \cdot 10^{-6}

Passo 1

O enunciado dá duas medidas da taxa de reação da decomposição de A expressas em função da pressão parcial p_A (em atm), obtidas em dois experimentos a temperaturas diferentes:
  • Experimento 1 ( T=400\\ \text{K}): -r_A = 2{,}3\, p_A^{2}.
  • Experimento 2 ( T=500\\ \text{K}): -r_A = 2{,}3\, p_A^{2}.
Outras informações fornecidas:
  • A unidade de -r_A é \text{mol}\,\text{m}^{-3}\,\text{s}^{-1}.
  • As pressões p_A estão em \text{atm}.
  • Constante dos gases para conversão pressão-volume (fornecida): \displaystyle R = 82{,}06\cdot10^{-6}. (Unidades: \text{m}^{3}\cdot\text{atm}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.)
O que é pedido:
  1. Transformar as expressões de taxa dadas em função da pressão para expressões em termos da concentração \,c_A (em \text{mol}\,\text{m}^{-3}).
  2. Calcular a energia de ativação E_a da reação a partir dessas informações.

Passo 2

Relação entre pressão parcial e concentração (Lei dos gases ideais).
  • A relação para uma espécie A é
p_A = c_A\,R\,T,
onde:
  • \,p_A é a pressão parcial de A (em \text{atm}),
  • \,c_A é a concentração de A (em \text{mol}\,\text{m}^{-3}),
  • \,R é a constante dos gases na unidade \text{m}^{3}\cdot\text{atm}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} (valor fornecido \,R=82{,}06\cdot10^{-6}),
  • \,T é a temperatura em Kelvin.
Explicando: essa fórmula vem de \,pV=nRT e dividindo por V obtém-se \,p = (n/V)RT = c\,RT. Assim podemos trocar p_A por c_A RT dentro da expressão da taxa.

Passo 3

Converter a expressão de taxa -r_A = 2{,}3\, p_A^2 para concentração substituindo p_A = c_A R T.
Fazendo a substituição,
-r_A = 2{,}3\,(p_A)^2 = 2{,}3\,(c_A R T)^2 = 2{,}3\,R^{2}T^{2}\,c_A^{2}.
Interpretação: a taxa em função de concentração tem a forma de segunda ordem em c_A,
-r_A = k(T)\,c_A^{2},
com a constante de velocidade dependente da temperatura dada por
k(T) = 2{,}3\,R^{2}T^{2}.
Observação de unidades: -r_A tem unidade \text{mol}\,\text{m}^{-3}\,\text{s}^{-1} e c_A^2 tem unidade \text{mol}^2\,\text{m}^{-6}. Assim k(T) tem unidade \text{m}^{3}\,\text{mol}^{-1}\,\text{s}^{-1} (coerente com ordem 2).

Passo 4

Calcular numericamente k(T) em cada temperatura usando \,R=82{,}06\cdot10^{-6}\\ \text{m}^{3}\cdot\text{atm}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
Primeiro calcule R^{2}:
R = 82{,}06\cdot10^{-6}=8{,}206\cdot10^{-5}, \qquad R^{2}=(8{,}206\cdot10^{-5})^{2}=6{,}7346436\cdot10^{-9}.
Agora para T_1=400\\ \text{K}:
k(400)=2{,}3\;R^{2}\;400^{2} =2{,}3\cdot 6{,}7346436\cdot10^{-9}\cdot 160000 \approx 2{,}4783689\cdot10^{-3}\\ \text{m}^{3}\,\text{mol}^{-1}\,\text{s}^{-1}.
Para T_2=500\\ \text{K}:
k(500)=2{,}3\;R^{2}\;500^{2} =2{,}3\cdot 6{,}7346436\cdot10^{-9}\cdot 250000 \approx 3{,}8724190\cdot10^{-3}\\ \text{m}^{3}\,\text{mol}^{-1}\,\text{s}^{-1}.
Verificação rápida: como k(T)\propto T^{2}, a razão k(500)/k(400)=(500/400)^{2}=1{,}5625, que bate com os números obtidos.

Passo 5

Equação de Arrhenius e método para obter E_a.
A equação de Arrhenius é
k(T)=A\;e^{-E_a/(R_{\text{J}}\,T)},
onde:
  • A é o fator de pré-exponencial,
  • E_a é a energia de ativação (em \text{J}\,\text{mol}^{-1}),
  • R_{\text{J}} é a constante dos gases no sistema de unidades \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1} (usar R_{\text{J}}=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1} aqui),
  • T em K.
Para eliminar A usamos os dois valores de k:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R_{\text{J}}}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Reorganizando para E_a:
E_a = -R_{\text{J}}\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}}.

Passo 6

Calcular E_a numericamente usando k(400) e k(500) obtidos no Passo 4 e R_{\text{J}}=8{,}314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
Calcule a razão e seu logaritmo:
\frac{k(500)}{k(400)} \approx \frac{3{,}8724190\cdot10^{-3}}{2{,}4783689\cdot10^{-3}} \approx 1{,}5625,
\ln\!\left(\frac{k(500)}{k(400)}\right) = \ln(1{,}5625)\approx 0{,}4462871.
Calcule a diferença dos recíprocos das temperaturas:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{500}-\frac{1}{400}=0{,}002-0{,}0025=-0{,}0005\\ \text{K}^{-1}.
Agora aplicar a fórmula:
E_a = -8{,}314\cdot\frac{0{,}4462871}{-0{,}0005} =8{,}314\cdot\frac{0{,}4462871}{0{,}0005} \approx 7420{,}6\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}.
Converter para \text{kJ}\,\text{mol}^{-1}:
E_a \approx 7{,}42\\ \text{kJ}\,\text{mol}^{-1}.
Interpretação curta: o valor de E_a é relativamente baixo (ordem de poucos \text{kJ/mol}). Aparentemente a expressão em pressão parecia idêntica nas duas temperaturas porque a constante numérica 2{,}3 multiplicando p_A^2 foi medida em unidades de pressão; ao converter para concentração aparece claramente a dependência em T^{2} na constante de velocidade k(T), e essa dependência permite extrair E_a via Arrhenius.

Resposta

-r_A = 2{,}3\,R^{2}T^{2}\,c_A^{2} \quad (ou seja -r_A = k(T)\,c_A^{2} com k(T)=2{,}3R^{2}T^{2}); numericamente k(400)\approx 2{,}4783689\cdot10^{-3}\\ \text{m}^{3}\text{mol}^{-1}\text{s}^{-1} e k(500)\approx 3{,}8724190\cdot10^{-3}\\ \text{m}^{3}\text{mol}^{-1}\text{s}^{-1}.
E_a \approx 7{,}42\\ \text{kJ}\,\text{mol}^{-1}

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