Estudos sobre os mercados de gás natural dos EUA em 1975 encontraram as curvas de oferta e demanda a seguir:
\begin{aligned} & Q^{o}=15+2 P^{\text {gás }}+0,25 P^{\text {petróleo }} \\\ & Q^{d}=-6 P^{\text {gás }}+3,75 P^{\text {petróleo }} \end{aligned}áóáó
em que Q^{o} e Q^{d} são, respectivamente, quantidades ofertadas e demandadas de gás natural, sendo cada uma delas medida em trilhões de pés cúbicos (tcf), P gás é preço do gás natural em dólares por mil pés cúbicos (\ / \mathrm{mcf}) eP^{petróleo} é preço do petróleo em dólares por barriléçóó($/ \mathrm{b}) . (a) Considerando o preço de \(\\) 8\(por barril de petróleo (\)P^{\text {petróleo }} ), qual o preço e a quantidade de equilíbrio do mercado de gás, considerando que esse mercado é perfeitamente competitivo?
(b) Se o preço do barril do petróleo aumentar para \ 10$, quais serão os novos preços e quantidades de equilíbrio do gás?
(c) Pelos resultados nos itens (a) e (b), gás natural e petróleo são bens substitutos ou complementares?

Passo 1

O enunciado dá as curvas de oferta e demanda do gás natural:
Q^{o}=15+2P^{\text{gás}}+0,25P^{\text{petróleo}}áó
Q^{d}=-6P^{\text{gás}}+3,75P^{\text{petróleo}}áó
As unidades são: Q em trilhões de pés cúbicos (tcf), P^{\text{gás}}á em \$/mcf e P^{\text{petróleo}}ó em \$/barril.
O que o problema pede:
(a) para P^{\text{petróleo}}=\$8ó, achar o preço de equilíbrio P^{\text{gás}}á e a quantidade de equilíbrio Q no mercado de gás;
(b) repetir para P^{\text{petróleo}}=\$10ó;
(c) a partir dos resultados, dizer se gás natural e petróleo são bens substitutos ou complementares.

Passo 2

Conceito-chave (bem mastigado): equilíbrio de mercado é o preço onde a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada. Em fórmulas isso significa que devemos resolver a igualdade
Q^{o}=Q^{d}.
Aqui P^{\text{gás}}á é a variável desconhecida que ajusta para que oferta e demanda coincidam; P^{\text{petróleo}}ó será tratado como parâmetro (valor dado em cada item).

Passo 3

Vamos montar a equação de equilíbrio igualando as duas expressões dadas e manipular algebricamente para isolar P^{\text{gás}}á. Começamos com
15+2P^{\text{gás}}+0,25P^{\text{petróleo}} = -6P^{\text{gás}}+3,75P^{\text{petróleo}}.áóáó
Agrupando os termos com P^{\text{gás}}á no lado esquerdo e os termos com P^{\text{petróleo}}ó e constantes no direito:
2P^{\text{gás}} +6P^{\text{gás}} = 3,75P^{\text{petróleo}} -0,25P^{\text{petróleo}} -15.ááóó
Somando os coeficientes de P^{\text{gás}}á e simplificando o termo de P^{\text{petróleo}}ó:
8P^{\text{gás}} = 3,5P^{\text{petróleo}} -15.áó
Isolando P^{\text{gás}}á:
P^{\text{gás}} = \frac{3,5P^{\text{petróleo}} -15}{8}.áó
Comentário didático: essa fórmula mostra como o preço de equilíbrio do gás depende linearmente do preço do petróleo. Aqui P^{\text{petróleo}}ó é um parâmetro conhecido em cada caso; P^{\text{gás}}á vem diretamente dessa expressão.

Passo 4

Item (a): tomar P^{\text{petróleo}}=\$8ó. Substituindo na fórmula:
P^{\text{gás}} = \frac{3,5\cdot 8 -15}{8}.á
Calcule passo a passo: 3,5\cdot 8 = 28. Então o numerador fica 28-15=13. Logo
P^{\text{gás}} = \frac{13}{8} = 1,625.á
Usando a vírgula decimal em português: P^{\text{gás}}=1,625\\ \$/\mathrm{mcf}á. Agora achamos a quantidade de equilíbrio substituindo em uma das funções (uso a oferta):
Q^{o} = 15 + 2\cdot\frac{13}{8} + 0,25\cdot 8.
Calcule passo a passo: 2\cdot\frac{13}{8}=\frac{26}{8}=3,25. E 0,25\cdot 8 = 2. Então
Q = 15 + 3,25 + 2 = 20,25\\ \text{tcf}.
Verificação rápida (confirmação útil na prova): usando a demanda,
Q^{d} = -6\cdot\frac{13}{8} + 3,75\cdot 8 = -9,75 + 30 = 20,25,
confirma que os dois lados batem.

Passo 5

Item (b): tomar P^{\text{petróleo}}=\$10ó. Substituindo na fórmula geral:
P^{\text{gás}} = \frac{3,5\cdot 10 -15}{8}.á
Calcule: 3,5\cdot 10 = 35. Numerador 35-15=20. Então
P^{\text{gás}} = \frac{20}{8} = 2,5.á
Ou seja P^{\text{gás}}=2,5\\ \$/\mathrm{mcf}á. Agora a quantidade de equilíbrio pela oferta:
Q^{o} = 15 + 2\cdot 2,5 + 0,25\cdot 10.
Calcule passo a passo: 2\cdot2,5=5. 0,25\cdot10=2,5. Então
Q = 15 + 5 + 2,5 = 22,5\\ \text{tcf}.
Verificando com a demanda:
Q^{d} = -6\cdot 2,5 + 3,75\cdot 10 = -15 + 37,5 = 22,5,
confirmação ok.

Passo 6

Interpretação econômica (explicada devagar e com carinho): a relação entre preços/quantidades quando muda P^{\text{petróleo}}ó nos diz se os bens são substitutos ou complementares. A regra simples é:
  • Se um aumento em P^{\text{petróleo}}ó faz a demanda por gás aumentar (ou seja, o termo de P^{\text{petróleo}}ó na função demanda é positivo), então consumidores trocam petróleo por gás — são bens substitutos.
  • Se o termo fosse negativo, seria complementar (aumentando o preço de um reduz a demanda do outro).
Aqui a função demanda tem coeficiente +3,75 multiplicando P^{\text{petróleo}}ó, ou seja, demanda aumenta quando o preço do petróleo sobe. Observação prática pelos resultados: quando P^{\text{petróleo}}ó subiu de $8 para $10, o preço de equilíbrio do gás subiu de $1,625 para $2,5 e a quantidade de equilíbrio também subiu de 20,25 tcf para 22,5 tcf — comportamento consistente com substituição (mais demanda por gás quando petróleo fica mais caro). Portanto concluímos que são substitutos.

Resposta

(a) P^{\text{gás}}_{eq}=\$1,625/\mathrm{mcf}á, Q_{eq}=20,25\\ \text{tcf}
(b) P^{\text{gás}}_{eq}=\$2,5/\mathrm{mcf}á, Q_{eq}=22,5\\ \text{tcf}
(c) Bens substitutos

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