Nos seus estudos sobre a natureza da gravidade, Huygens descobre que havia uma proporção exata entre a sua força centrífuga e a aceleração da gravidade para manter um corpo numa trajetória circular uniforme. Ao descobri-la, ele a enuncia como um teorema:
"Se um corpo se move em uma circunferência de raio r com a mesma velocidade v que ele adquire ao cair de uma altura idêntica a um quarto do diâmetro da circunferência, ele terá uma tendência de retroceder do centro (Fc f) igual a sua força peso (P)^prime prime.
Demonstre a validade deste teorema.

Passo 1

O enunciado diz que um corpo descreve um movimento circular de raio r com velocidade v igual à velocidade que ele adquire ao cair de uma altura igual a um quarto do diâmetro. O conteúdo envolvido é conservação de energia na queda livre e força centrípeta (ou centrífuga) no movimento circular uniforme.

Passo 2

Para achar v, aplicamos conservação de energia entre o ponto de queda e o ponto de contato: a energia potencial mgh vira energia cinética tfrac12mv^2. Aqui h=tfracd4=tfrac2r4=tfrac r2. Logo,
mgh=tfrac12mv^2 Rightarrow mgl(tfrac r2r)=tfrac12m v^2 Rightarrow v^2=2gl(tfrac r2r)=gr

Passo 3

No movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta (tendência de retroceder do centro) é ac=tfracv^2r. Assim, a força centrífuga é
Fcf=m,ac=m,v^2r=mgrr=mg

Passo 4

Como o peso do corpo é P=mg, concluímos que
].

Resposta

F_{cf}=mg=P

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