(0,5) Etanol a 20^{\circ} \mathrm{C} escoa a 100 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} em uma tubulação de 4 in de diâmetro. Deseja-se medir a vazão volumétrica (\dot{\forall}) utilizando uma placa de orifício e um medidor diferencial de pressão (\Delta \mathrm{P}) que forneça uma melhor leitura em valores próximos a 70 kPa . Obtenha a razão \beta adequada para a placa de orifício:
a) desprezando as perdas de energia ( \dot{\forall}_{\text {ideal }} ).
b) considerando as perdas de energia ( \dot{\forall}_{\text {real }} ).

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que temos):
  • Temos etanol a 20^\circ\mathrm{C} escoando com vazão volumétrica \dot{\forall}=100\\ \mathrm{m^{3}/h} por uma tubulação de diâmetro interno D=4\\ \mathrm{in}.
  • Queremos escolher a razão \beta da placa de orifício ( \beta = d/D, sendo d o diâmetro do orifício) de modo que o medidor diferencial apresente leitura em torno de \Delta P=70\\ \mathrm{kPa}.
  • Pedidos:
    a) calcular \beta desprezando perdas de energia (caso ideal);
    b) calcular \beta considerando perdas (caso real).
  • Valores de referência do etanol a 20^\circ\mathrm{C} (usados nas contas): densidade \rho=789\\ \mathrm{kg/m^{3}} e viscosidade dinâmica \mu=1{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. (Esses são valores tabulados; se seu professor usar outros, os resultados variam um pouco.)
  • Observação: não há figura com taps; assumiremos a relação usual entre \Delta P medida e velocidade de escoamento típica de placa de orifício. No item (b) usaremos um coeficiente de descarga típico C_d para uma placa afiada com taps próximos (explico e justifico adiante).

Passo 2

Conversões e cálculos iniciais (passo-a-passo):
  • Converter vazão para \mathrm{m^{3}/s}:
\dot{\forall}=\frac{100}{3600}=0{,}027777\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Converter diâmetro para metros:
D=4\\ \mathrm{in}=4\times25{,}4\\ \mathrm{mm}=101{,}6\\ \mathrm{mm}=0{,}1016\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção interna da tubulação ( A_1):
A_1=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}1016)^2}{4}=0{,}008103\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média na tubulação ( v_1), pela continuidade v_1=\dot{\forall}/A_1:
v_1=\frac{0{,}027777}{0{,}008103}=3{,}427\\ \mathrm{m/s}.
  • Viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho:
\nu=\frac{1{,}2\times10^{-3}}{789}=1{,}52\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Número de Reynolds no tubo (para verificar regime):
Re=\frac{v_1 D}{\nu}=\frac{3{,}427\times0{,}1016}{1{,}52\times10^{-6}} \approx 2{,}29\times10^{5},
ou seja, escoamento plenamente turbulento. Isso justifica usar coeficientes típicos de descarga de orifício que valem para Re altos.

Passo 3

Derivação da fórmula no caso ideal (desprezando perdas e C_d=1):
  • Continuidades: A_1 v_1 = A_2 v_2 = \dot{\forall}, com A_2=\pi d^2/4 = \beta^2 A_1.
  • Aplicando Bernoulli entre a seção 1 (montante) e a seção 2 (no gargalo/vena contracta), desprezando perdas:
P_1-P_2=\tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2-v_1^2\right)=\tfrac{1}{2}\rho v_2^2\left(1-\beta^4\right),
pois v_1=v_2\beta^2 implica v_1^2=v_2^2\beta^4.
  • Assim a relação entre vazão e \Delta P (ideal) é
\dot{\forall}=A_2 v_2 = A_2\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho(1-\beta^4)}}.
  • Colocando A_2=\beta^2 A_1 e isolando \beta: primeiro quadramos e rearranjamos
\dot{\forall}^2 = \beta^4 A_1^2\frac{2\Delta P}{\rho(1-\beta^4)}.
Defina a constante
K=\frac{\dot{\forall}^2 \rho}{2A_1^2\Delta P}.
A equação fica \dfrac{\beta^4}{1-\beta^4}=K. Isolando \beta:
\beta^4=\frac{K}{1+K}\quad\Rightarrow\quad \beta=\left(\frac{K}{1+K}\right)^{1/4}.

Passo 4

Cálculo numérico do caso ideal:
  • Calcular K. Já temos \dot{\forall}=0{,}027777, \rho=789, A_1=0{,}008103, \Delta P=70\\ \mathrm{kPa}=70000\\ \mathrm{Pa}.
\dot{\forall}^2=(0{,}027777)^2=7{,}716\times10^{-4}.
A_1^2=(0{,}008103)^2=6{,}567\times10^{-5}.
K=\frac{7{,}716\times10^{-4}\times789}{2\times6{,}567\times10^{-5}\times70000} =\frac{0{,}6087}{9{,}1938}\approx0{,}0662.
  • Logo
\beta=\left(\frac{0{,}0662}{1+0{,}0662}\right)^{1/4} =\left(0{,}0621\right)^{1/4}\approx0{,}499.
Interpretação: desprezando perdas, uma placa com \beta\approx0{,}50 produziria cerca de 70\\ \mathrm{kPa} dado o fluxo.

Passo 5

Caso real: incluindo perdas por coeficiente de descarga C_d:
  • Na prática a vazão real é
\dot{\forall}=C_d A_2\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho(1-\beta^4)}}.
  • Repetindo a mesma manipulação ( A_2=\beta^2 A_1) obtemos
\dot{\forall}^2 = C_d^2\beta^4 A_1^2\frac{2\Delta P}{\rho(1-\beta^4)}.
Definindo novamente K=\dfrac{\dot{\forall}^2 \rho}{2A_1^2\Delta P}, escreve-se
\frac{\beta^4}{1-\beta^4}=\frac{K}{C_d^2}.
Isolando \beta:
\beta^4=\frac{K/C_d^2}{1+K/C_d^2}=\frac{K}{C_d^2+K} \quad\Rightarrow\quad \beta=\left(\frac{K}{C_d^2+K}\right)^{1/4}.
  • Justificativa para escolher C_d: o coeficiente C_d depende de \beta, do tipo de orifício e de Re. Para placas de orifício de borda afiada com taps tradicionais e Re alto, um valor típico empírico é C_d\approx0{,}61. Como aqui temos Re\sim2{,}3\times10^{5}, usar C_d=0{,}61 fornece uma boa estimativa prática. (Se tiver a curva/expressão de C_d(\beta,Re) da norma ISO 5167, poderíamos iterar; para um cálculo de prova C_d=0{,}61 é aceitável.)

Passo 6

Cálculo numérico do caso real com C_d=0{,}61:
  • Já calculamos K\approx0{,}0662. Então
C_d^2=(0{,}61)^2=0{,}3721.
\beta=\left(\frac{0{,}0662}{0{,}3721+0{,}0662}\right)^{1/4} =\left(\frac{0{,}0662}{0{,}4383}\right)^{1/4} =\left(0{,}1511\right)^{1/4}\approx0{,}624.
  • Interpretação: quando se leva em conta o coeficiente de descarga (perdas/turbulência), a razão \beta precisa ser maior (orifício relativamente maior) para obter a mesma \Delta P=70\\ \mathrm{kPa}. Resultado final arredondado com 3 algarismos significativos.

Resposta

a) \beta \approx 0{,}499
b) \beta \approx 0{,}624

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