(1,0) Obtenha o perfil de velocidades e a vazão do escoamento em regime turbulento no interior de um tubo liso de raio igual a 1,5 \mathrm{~cm}, sabendo-se que a espessura da subcamada laminar é de 10^{-2} \mathrm{~cm}.
Dados: \rho=1 \frac{g}{c m^{3}}, \mu=1,14 \cdot 10^{-2} P

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados disponíveis.\n
  • Pedidos: (i) obter o perfil de velocidades no interior do tubo (perfil radial u(r)), (ii) obter a vazão Q do escoamento.\n
  • Dados numéricos fornecidos:\n
    • Raio do tubo: R=1{,}5\\ \mathrm{cm}.\n
    • Espessura da subcamada laminar (viscous sublayer): \delta_s=10^{-2}\\ \mathrm{cm}.\n
    • Densidade: \rho=1\\ \mathrm{g/cm^{3}}.\n
    • Viscosidade dinâmica: \mu=1{,}14\cdot10^{-2}\\ \mathrm{P} (em unidades cgs, 1\\ \mathrm{P}=1\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}).\n
  • Observações importantes extraídas dos dados: a viscosidade cinemática é \nu=\mu/\rho. Aqui \nu=1{,}14\cdot10^{-2}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.\n
  • Não há figura adicional; os dados são suficientes para construir o perfil composto (subcamada viscosa linear junto à parede + lei do logaritmo para o restante) e calcular Q.

Passo 2

Conceitos físicos e equações que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).\n
  • Na região muito próxima à parede (viscous sublayer) o perfil é aproximadamente linear em função da distância à parede: a lei adimensional é u^+=y^+. Aqui definimos:\n
    • u^+ \equiv \dfrac{u}{u_\tau} é a velocidade adimensional (velocidade local u dividida pela velocidade de fricção u_\tau).\n
    • y^+ \equiv \dfrac{y\,u_\tau}{\nu} é a coordenada adimensional (distância à parede y em vez de r), com \nu a viscosidade cinemática.\n
    • A velocidade de fricção u_\tau relaciona-se à tensão de cisalhamento na parede \tau_w por u_\tau\equiv\sqrt{\tau_w/\rho}.\n
  • Fora da subcamada, na região turbulenta próxima à parede (camada log), usa-se a lei do logaritmo (para superfície lisa):\n u^+ = \frac{1}{\kappa}\ln y^+ + B,\nonde \kappa (constante de von Kármán) vale aproximadamente 0{,}41 e B para parede lisa vale aproximadamente 5{,}0.\n
  • Para transformar essas leis em u(y) (dimensional) usamos u = u_\tau\,u^+ e y = R-r quando quisermos expressar em função da coordenada radial r (distância do eixo): y é a distância da parede até o ponto considerado.\n
  • O procedimento prático para determinar u_\tau quando se conhece a espessura da subcamada \delta_s é usar o fato empírico de que a subcamada viscosa estende-se até cerca de y^+\approx 5. Assim impomos\n y^+(\delta_s)=\frac{\delta_s\,u_\tau}{\nu}\approx 5\ne resolvemos para u_\tau. Essa é a chave para obter valores numéricos do perfil e da vazão.

Passo 3

Cálculo de u_\tau a partir da espessura da subcamada.\n
  • Temos \nu=\dfrac{\mu}{\rho}=\dfrac{1{,}14\cdot10^{-2}}{1}=1{,}14\cdot10^{-2}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.\n
  • Impomos \dfrac{\delta_s\,u_\tau}{\nu}=5. Substituindo valores:\n u_\tau = 5\,\frac{\nu}{\delta_s}=5\cdot\frac{1{,}14\cdot10^{-2}}{1\cdot10^{-2}}=5\cdot1{,}14=5{,}7\\ \mathrm{cm/s}.\n
  • Resultado: u_\tau=5{,}7\\ \mathrm{cm/s}. (interprete como velocidade característica ligada ao cisalhamento de parede.)

Passo 4

Escrever explicitamente o perfil de velocidades (forma peça a peça) em função da coordenada radial r\).\n - Distância à parede: \(y=R-r\).\n - Região 1 (subcamada viscosa, \(0\le y\le\delta_s\) ou equivalente \(R-\delta_s\le r\le R\)): usando \(u^+=y^+\) temos\n\[u(r)=u_\tau\,y^+ = u_\tau\frac{y\,u_\tau}{\nu} = \frac{u_\tau^2}{\nu}\,(R-r).\n
Definimos a constante útil\n C\equiv\frac{u_\tau^2}{\nu}.\n
  • Região 2 (camada log, \delta_s< y \le R ou 0\le r < R-\delta_s): usando a lei do logaritmo\n u(r)=u_\tau\left[\frac{1}{\kappa}\ln\!\big(y^+\big)+B\right] = u_\tau\left[\frac{1}{\kappa}\ln\!\left(\frac{(R-r)\,u_\tau}{\nu}\right)+B\right].\n
  • Resumo do perfil (fórmula final em forma peça a peça):\n u(r)=\begin{cases} \dfrac{u_\tau^2}{\nu}\,(R-r), & R-\delta_s \le r \le R,\\[6pt] u_\tau\left[\dfrac{1}{\kappa}\ln\!\left(\dfrac{(R-r)\,u_\tau}{\nu}\right)+B\right], & 0\le r < R-\delta_s. \end{cases}\n
  • Vamos agora colocar números intermediários para facilitar integrações:\n - u_\tau=5{,}7\\ \mathrm{cm/s}\].\n - \(\nu=1{,}14\cdot10^{-2}\\ \mathrm{cm^{2}/s}.\n - u_\tau/\nu = \dfrac{5{,}7}{0{,}0114}=500 (muito conveniente: valor exato aqui!).\n - \kappa=0{,}41, B=5{,}0.\n - Assim a parte logarítmica pode ser escrita como\n u(r)=u_\tau\!\left[\dfrac{1}{\kappa}\ln\big((R-r)\big)+\dfrac{1}{\kappa}\ln\big(\tfrac{u_\tau}{\nu}\big)+B\right].\n - Calculando \dfrac{1}{\kappa}\ln\big(\tfrac{u_\tau}{\nu}\big)=\dfrac{1}{0{,}41}\ln(500). Como \ln(500)\approx6{,}214608 e 1/0{,}41\approx2{,}439024, temos \dfrac{1}{\kappa}\ln\big(\tfrac{u_\tau}{\nu}\big)\approx15{,}1522.\n - Então a constante aditiva dentro do colchete vale aproximadamente 15{,}1522+5{,}0=20{,}1522.\n - Logo, numericamente,\n u(r)\approx \frac{u_\tau}{\kappa}\ln\big((R-r)\big) + u_\tau\cdot20{,}1522,\n lembrando que o logaritmo aí é de uma grandeza em centímetros; para manter a forma correta e adimensional devemos sempre interpretar a expressão completa como \ln\!\big(\tfrac{(R-r)u_\tau}{\nu}\big). Não esqueça dessa origem se reescrever a fórmula.]

Passo 5

Preparar a integral para a vazão Q e separar as contribuições das duas regiões.\n
  • A vazão é\n Q = \int_{0}^{R} 2\pi r\,u(r)\,dr =2\pi\left(\int_{0}^{R-\delta_s} r\,u_{\text{log}}(r)\,dr + \int_{R-\delta_s}^{R} r\,u_{\text{lin}}(r)\,dr\right).\n
  • Substituir as expressões:\n - Para a região logarítmica ( 0\le r\le R-\delta_s):\n u_{\text{log}}(r)=u_\tau\left[\frac{1}{\kappa}\ln\!\left(\frac{(R-r)u_\tau}{\nu}\right)+B\right].\n - Para a subcamada linear ( R-\delta_s\le r\le R):\n u_{\text{lin}}(r)=C\,(R-r),\qquad C=\frac{u_\tau^2}{\nu}.

Passo 6

Integração da contribuição da região logarítmica (detalhes das contas).\n
  • Escrevemos u_{\text{log}}(r) como soma de um termo proporcional a \ln(R-r) e um termo constante:\n u_{\text{log}}(r)=\underbrace{\frac{u_\tau}{\kappa}}_{A}\ln(R-r) +\underbrace{u_\tau\Big(\frac{1}{\kappa}\ln\frac{u_\tau}{\nu}+B\Big)}_{D}.\n
  • Definimos A=\dfrac{u_\tau}{\kappa} e D conforme acima. Então precisamos calcular\n I_{\text{log}}=\int_{0}^{R-\delta_s} r\big(A\ln(R-r)+D\big)\,dr = A\int_{0}^{R-\delta_s} r\ln(R-r)\,dr + D\int_{0}^{R-\delta_s} r\,dr.\n
  • Fazemos a mudança de variável s=R-r para avaliar J=\int_{0}^{R-\delta_s} r\ln(R-r)\,dr. As transformações são:\n - r=R-s,\; dr=-ds, os limites r=0\to s=R e r=R-\delta_s\to s=\delta_s.\n - Logo\n J=\int_{s=R}^{\delta_s}(R-s)\ln s\,(-ds)=\int_{\delta_s}^{R}(R-s)\ln s\,ds.\n
  • Expandimos e integramos term a term:\n J = R\int_{\delta_s}^{R}\ln s\,ds - \int_{\delta_s}^{R} s\ln s\,ds.\n
  • Usamos integrais conhecidas:\n - \displaystyle\int \ln s\,ds = s\ln s - s.\n - \displaystyle\int s\ln s\,ds = \frac{s^2}{2}\ln s - \frac{s^2}{4}.\n- Aplicando os limites s=\delta_s até s=R obtemos (mostrando todos os passos numéricos):\n - R\ln R - R em s=R e \delta_s\ln\delta_s - \delta_s em s=\delta_s.\n - \dfrac{R^2}{2}\ln R - \dfrac{R^2}{4} em s=R e \dfrac{\delta_s^2}{2}\ln\delta_s - \dfrac{\delta_s^2}{4} em s=\delta_s.\n- Substituindo números (todas as unidades em cm, s):\n - R=1{,}5, \delta_s=0{,}01.\n - Cálculos intermediários:\n - \ln(1{,}5)\approx0{,}4054651.\n - \ln(0{,}01)=-4{,}6051702.\n - Avaliando J numericamente obtém-se (mostrando o resultado final do cálculo):\n J\approx -1{,}1475305\\ \mathrm{cm^{2}}.\n- Agora calculamos as constantes numéricas:\n - u_\tau=5{,}7, \kappa=0{,}41 A=\dfrac{u_\tau}{\kappa}\approx13{,}90244\\ \mathrm{cm/s}.\n - \dfrac{u_\tau}{\nu}=500\Rightarrow \ln\!\left(\dfrac{u_\tau}{\nu}\right)\approx6{,}214608.\n - D = u_\tau\Big(\dfrac{1}{\kappa}\ln\dfrac{u_\tau}{\nu}+B\Big)\approx 5{,}7\cdot(15{,}1522+5)=5{,}7\cdot20{,}1522\approx114{,}8675\\ \mathrm{cm/s}.\n- O outro integral simples é \int_{0}^{R-\delta_s} r\,dr = \dfrac{(R-\delta_s)^2}{2}=\dfrac{1{,}49^2}{2}\approx1{,}11005\\ \mathrm{cm^{2}}.\n- Portanto a contribuição logarítmica à vazão é\n Q_{\text{log}}=2\pi\big(AJ + D\cdot\tfrac{(R-\delta_s)^2}{2}\big) \approx 2\pi\big(13{,}90244\cdot(-1{,}1475305) + 114{,}8675\cdot1{,}11005\big).\n- Avaliando numericamente chegamos a\n Q_{\text{log}}\approx700{,}884\\ \mathrm{cm^{3}/s}.

Passo 7

Integração da contribuição da subcamada viscosa linear (detalhes e contas).\n
  • A contribuição da subcamada é\n Q_{\text{lin}}=2\pi\int_{R-\delta_s}^{R} r\cdot C(R-r)\,dr, \qquad C=\frac{u_\tau^2}{\nu}.\n- Calculamos C: com u_\tau=5{,}7 e \nu=0{,}0114 temos\n C=\frac{5{,}7^2}{0{,}0114}=\frac{32{,}49}{0{,}0114}=2850\\ \mathrm{\frac{cm}{s}}.\n- Expandimos o integrando: r(R-r)=Rr-r^2. Assim\n \int_{R-\delta_s}^{R}(Rr-r^2)\,dr = \left[\frac{R r^2}{2}-\frac{r^3}{3}\right]_{R-\delta_s}^{R}.\n- Usando R=1{,}5 e R-\delta_s=1{,}49 e \delta_s=0{,}01, avaliamos o integral e obtemos numericamente:\n \int_{R-\delta_s}^{R}(Rr-r^2)\,dr \approx 7{,}467\times10^{-5}\\ \mathrm{cm^{3}}.\n- Multiplicando por 2\pi C resulta\n Q_{\text{lin}}=2\pi\cdot2850\cdot 7{,}467\times10^{-5}\approx1{,}333\\ \mathrm{cm^{3}/s}.

Passo 8

Somar contribuições e obter vazão total; calcular também velocidade média e velocidade máxima no eixo (para intuição).\n
  • Vazão total:\n Q = Q_{\text{log}} + Q_{\text{lin}} \approx 700{,}884 + 1{,}333 \approx 702{,}217\\ \mathrm{cm^{3}/s}.\n- Conversões úteis:\n - Em litros por segundo: Q\approx 0{,}7022\\ \mathrm{L/s}.\n - Em metros cúbicos por segundo: Q\approx7{,}022\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}.\n- Velocidade média média (opcional, para verificar ordem de grandeza):\n \bar{u}=\frac{Q}{\pi R^2}=\frac{702{,}217}{\pi\cdot1{,}5^2} \approx99{,}36\\ \mathrm{cm/s}\approx0{,}9936\\ \mathrm{m/s}.\n- Velocidade no eixo ( r=0, usando a lei do log):\n u(0)=u_\tau\left[\frac{1}{\kappa}\ln\!\left(\frac{R\,u_\tau}{\nu}\right)+B\right] \approx5{,}7\left[\frac{1}{0{,}41}\ln(1{,}5\cdot500)+5\right]\approx120{,}57\\ \mathrm{cm/s}.

Resposta

Perfil de velocidades (peça a peça):
u(r)=\begin{cases} \dfrac{u_\tau^2}{\nu}\,(R-r), & R-\delta_s \le r \le R,\\[6pt] u_\tau\left[\dfrac{1}{\kappa}\ln\!\left(\dfrac{(R-r)\,u_\tau}{\nu}\right)+B\right], & 0\le r < R-\delta_s, \end{cases}
com u_\tau=5{,}7\\ \mathrm{cm/s}, \nu=1{,}14\cdot10^{-2}\\ \mathrm{cm^{2}/s}, \kappa=0{,}41, B=5{,}0 (e \delta_s=10^{-2}\\ \mathrm{cm}).\n
Vazão total:
Q\approx702{,}22\\ \mathrm{cm^{3}/s}\approx0{,}7022\\ \mathrm{L/s}\approx7{,}022\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}.]

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