Etanol é adicionado num reservatório com uma vazão mássica de 1200 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} e ao mesmo tempo retira-se uma vazão mássica, que aumenta linearmente com o tempo. Inicialmente, em t=0, o tanque contém 750 kg de etanol e retira-se 750 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Quando t=5 \mathrm{~h} a retirada de etanol é igual a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Solucionar as seguintes questões: (a) determinar uma expressão para estimar a vazão mássica de etanol retirada do reservatório; (b) considerando que o volume do reservatório é infinito, determinar uma expressão para estimar a massa de etanol existente no reservatório; (c) calcular o instante de tempo em que a massa de etanol atinge o valor máximo, e calcular este valor; (d) calcular o instante de tempo em que o reservatório esvaziará; e (e) Supondo que o volume do reservatório é de 3,30 \mathrm{~m}^{3} calcular a massa de etanol que transborda do reservatório e o instante de tempo em que o reservatório esvaziará.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar tudo que é dado, com calma, para a gente não se perder):
  • Vazão mássica de entrada de etanol: \;1200\\ \mathrm{kg/h}.
  • A vazão mássica de saída varia linearmente com o tempo: \;Q_{\text{out}}(t)=a+bt (valores a determinar).
  • Condições iniciais para a saída: em t=0 temos \;Q_{\text{out}}(0)=750\\ \mathrm{kg/h}.
  • Em t=5\\ \mathrm{h} temos \;Q_{\text{out}}(5)=1000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa inicial de etanol no tanque: \;M(0)=750\\ \mathrm{kg}.
  • Em uma parte do problema considerar o volume do reservatório infinito (ou seja, sem transbordamento).
  • Em outra parte (item e) o volume do reservatório é dado: \;V=3,30\\ \mathrm{m}^3.
  • O problema pede, em sequência:
    (a) determinar expressão da vazão de saída Q_{\text{out}}(t);
    (b) considerando volume infinito, expressão da massa M(t) do etanol no reservatório;
    (c) instante em que M(t) atinge máximo e valor desse máximo;
    (d) instante em que o reservatório “esvazia” (massa vira zero) no caso de volume infinito;
    (e) supondo V=3,30\\ \mathrm{m}^3, calcular a massa que transborda e o instante em que o reservatório esvazia nesse caso (para este item vou precisar assumir um valor de densidade do etanol — explico quando chegar lá).

Passo 2

(a) Encontrar a expressão linear da vazão de saída.
Nós sabemos que Q_{\text{out}}(t)=a+bt. Usamos as duas condições:
Q_{\text{out}}(0)=a=750,
Q_{\text{out}}(5)=a+5b=1000.
Substituindo a=750 na segunda equação:
750+5b=1000 \implies 5b=250 \implies b=50.
Portanto a expressão é
Q_{\text{out}}(t)=750+50t\quad(\mathrm{kg/h}).
(Pronto — é só uma reta com intercepto 750 e coeficiente angular 50.)

Passo 3

(b) Montar e resolver a equação de balanço de massa no caso de reservatório com volume infinito (ou seja, sem transbordamento).
  • Raciocínio físico: como tanto a vazão de entrada quanto a de saída estão em massa de etanol puro, o balanço é simplesmente variação de massa = entrada menos saída:
\frac{dM}{dt} = \dot m_{\text{in}} - \dot m_{\text{out}}(t).
  • Substituindo os valores: \dot m_{\text{in}}=1200 e \dot m_{\text{out}}(t)=750+50t, então
\frac{dM}{dt}=1200-(750+50t)=450-50t.
Isto é uma equação diferencial simples cuja primitiva é obtida por integração direta. Integramos com a condição inicial M(0)=750:
M(t)=750+\int_0^{t} (450-50s)\,ds =750 + \big[450s -25s^2\big]_0^{t}.
Logo
M(t)=750+450t-25t^2\quad(\mathrm{kg}).
(Essa é a expressão da massa do etanol no tanque enquanto não houver transbordamento.)

Passo 4

(c) Determinar instante do máximo e valor máximo de M(t).
  • Matemática simples: para achar máximos/ mínimos de uma função diferenciável, igualamos a derivada a zero. Já temos \dfrac{dM}{dt}=450-50t.
  • Igualando a zero:
450-50t=0 \implies t=\frac{450}{50}=9\\ \mathrm{h}.
  • Verificação de que é máximo: a derivada tem coeficiente de t negativo ( -50), portanto a função é côncava para baixo e esse ponto é máximo.
  • Valor máximo:
M(9)=750+450\cdot 9 -25\cdot 9^2 =750+4050-2025=2775\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

(d) Instante em que o reservatório esvazia no caso volume infinito (ou seja, achar t>0 tal que M(t)=0).
Resolvem-se as raízes da equação quadrática
750+450t-25t^2=0.
Multiplicando por -1 e dividindo por 25 para facilitar:
t^2-18t-30=0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
t=\frac{18\pm\sqrt{18^2-4\cdot 1\cdot(-30)}}{2}=\frac{18\pm\sqrt{324+120}}{2}=\frac{18\pm\sqrt{444}}{2}.
A raiz positiva é
t=\frac{18+\sqrt{444}}{2}\approx 19{,}536\\ \mathrm{h}.
(A raiz negativa corresponde a tempo físico negativo e é desprezada.) Portanto, para reservatório infinito, o tanque fica vazio em t\approx 19{,}536\\ \mathrm{h}.

Passo 6

(e) Agora considerar volume finito V=3{,}30\\ \mathrm{m}^3 e calcular (i) a massa que transborda e (ii) o instante em que o reservatório esvazia.
Primeiro: precisamos transformar volume em massa-capacidade do tanque. O enunciado não deu a densidade, então vou assumir a densidade típica do etanol puro à temperatura ambiente: \rho_{\text{etanol}}=789\\ \mathrm{kg/m^3} (valor usual em problemas; se seu professor usa outro valor, basta substituir e repetir os passos).
Com isso a massa máxima armazenável (capacidade mássica) é
M_{\text{cap}}=\rho V = 789\cdot 3{,}30 =2603{,}7\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Encontrar o(s) instante(s) em que a curva não limitada M(t)=750+450t-25t^2 cruza o valor M_{\text{cap}}=2603{,}7\\ \mathrm{kg}. Isso nos diz quando o tanque enche pela primeira vez e quando, teoricamente, a curva livre cairia de novo até M_{\text{cap}}.
Resolvemos
750+450t-25t^2=2603{,}7.
Reescrevendo:
25t^2-450t+1853{,}7=0 \quad\Longrightarrow\quad t^2-18t+74{,}148=0.
Discriminante:
\Delta=18^2-4\cdot 74{,}148=324-296{,}592=27{,}408,
\sqrt{\Delta}\approx 5{,}235152.
As duas raízes são
t=\frac{18\pm 5{,}235152}{2}\implies t_1\approx 6{,}382\\ \mathrm{h},\quad t_2\approx 11{,}618\\ \mathrm{h}.
Interpretação física:
  • Em t_1\approx 6{,}382\\ \mathrm{h} a massa livre atinge a capacidade e o tanque começa a transbordar (rátio entrada > saída naquele instante crescente).
  • Em t_2\approx 11{,}618\\ \mathrm{h} a curva livre volta a cortar o valor da capacidade na fase decrescente. Contudo, o período durante o qual o tanque fica cheio (com efeito de transbordamento) é do instante em que atinge a capacidade até o instante em que a taxa líquida torne-se nula e a massa comece a diminuir — isto é, do primeiro cruzamento até o instante de máximo t_{\max}=9\\ \mathrm{h}. Depois de t=9\\ \mathrm{h} a taxa líquida ( 450-50t) fica negativa e o tanque efetivamente começa a esvaziar.

Passo 8

Calcular a massa que transborda.
Enquanto o tanque está no nível máximo (cheio), o excesso de entrada sobre a saída é exatamente o que transborda (porque a massa no tanque não varia enquanto está cheia). Então a massa total que transborda é a integral da taxa líquida (\dot m_{\text{in}}-\dot m_{\text{out}}(t)) entre t_1 e t_{\max}:
M_{\text{transbordo}}=\int_{t_1}^{t_{\max}} (450-50t)\,dt = M_{\text{livre}}(t_{\max})-M_{\text{livre}}(t_1).
Sabemos M_{\text{livre}}(t_{\max})=M(9)=2775\\ \mathrm{kg} e M_{\text{livre}}(t_1)=M_{\text{cap}}=2603{,}7\\ \mathrm{kg}. Portanto
M_{\text{transbordo}}=2775-2603{,}7=171{,}3\\ \mathrm{kg}.

Passo 9

Calcular o instante em que o reservatório esvazia no caso com volume finito (uso a evolução real do nível após o período de transbordamento).
  • Para t\le t_1 o tanque segue M_{\text{livre}}(t).
  • Para t_1<t<t_{\max} o tanque fica cheio e a massa interna é constante M_{\text{cap}} (o excesso transborda).
  • Para t\ge t_{\max} a taxa líquida torna-se negativa e o tanque começa a esvaziar: então para t\ge t_{\max} a equação diferencial vale normalmente (overflow =0 quando a taxa é negativa) e a massa evolui segundo
M_{\text{real}}(t)=M_{\text{cap}} + \int_{t_{\max}}^{t} (450-50s)\,ds.
Como \int_{t_{\max}}^{t} (450-50s)\,ds = M_{\text{livre}}(t)-M_{\text{livre}}(t_{\max}), obtemos
M_{\text{real}}(t)=M_{\text{livre}}(t) -\big(M_{\text{livre}}(t_{\max})-M_{\text{cap}}\big).
Sabendo M_{\text{livre}}(t_{\max})=2775 e M_{\text{cap}}=2603{,}7, a diferença é 2775-2603{,}7=171{,}3. Assim para t\ge 9\\ \mathrm{h}
M_{\text{real}}(t)=M_{\text{livre}}(t)-171{,}3.
O reservatório esvazia quando M_{\text{real}}(t)=0, isto é quando M_{\text{livre}}(t)=171{,}3. Então resolvemos
750+450t-25t^2=171{,}3.
Rearranjando:
25t^2-450t-578{,}7=0 \quad\Longrightarrow\quad t^2-18t-23{,}148=0.
Aplicando Bhaskara:
t=\frac{18+\sqrt{416{,}592}}{2}\approx 19{,}207\\ \mathrm{h}.
(De novo desprezamos a raiz negativa.) Portanto, no caso do reservatório com V=3{,}30\\ \mathrm{m}^3 e \rho=789\\ \mathrm{kg/m^3}, o tanque esvazia em t\approx 19{,}207\\ \mathrm{h}.

Resposta

(a) \;Q_{\text{out}}(t)=750+50t\\ \mathrm{kg/h}.
(b) \;M(t)=750+450t-25t^2\\ \mathrm{kg}.
(c) instante do máximo \;t_{\max}=9\\ \mathrm{h}. Valor máximo \;M(9)=2775\\ \mathrm{kg}.
(d) para volume infinito, instante de esvaziamento \;t\approx 19{,}536\\ \mathrm{h}.
(e) assumindo \rho_{\text{etanol}}=789\\ \mathrm{kg/m^3}: massa de transbordo \;M_{\text{transbordo}}=171{,}3\\ \mathrm{kg}. Instante de esvaziamento com V=3{,}30\\ \mathrm{m^3}: \;t\approx 19{,}207\\ \mathrm{h}.

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