Etanol é adicionado num reservatório com uma vazão mássica de
e ao mesmo tempo retira-se uma vazão mássica, que aumenta linearmente com o tempo. Inicialmente, em
, o tanque contém 750 kg de etanol e retira-se
. Quando
a retirada de etanol é igual a
. Solucionar as seguintes questões: (a) determinar uma expressão para estimar a vazão mássica de etanol retirada do reservatório; (b) considerando que o volume do reservatório é infinito, determinar uma expressão para estimar a massa de etanol existente no reservatório; (c) calcular o instante de tempo em que a massa de etanol atinge o valor máximo, e calcular este valor; (d) calcular o instante de tempo em que o reservatório esvaziará; e (e) Supondo que o volume do reservatório é de
calcular a massa de etanol que transborda do reservatório e o instante de tempo em que o reservatório esvaziará.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar tudo que é dado, com calma, para a gente não se perder):
- Vazão mássica de entrada de etanol:
- A vazão mássica de saída varia linearmente com o tempo:
(valores a determinar). - Condições iniciais para a saída: em
temos - Em
temos - Massa inicial de etanol no tanque:
- Em uma parte do problema considerar o volume do reservatório infinito (ou seja, sem transbordamento).
- Em outra parte (item e) o volume do reservatório é dado:
- O problema pede, em sequência:
(a) determinar expressão da vazão de saída;
(b) considerando volume infinito, expressão da massado etanol no reservatório;
(c) instante em queatinge máximo e valor desse máximo;
(d) instante em que o reservatório “esvazia” (massa vira zero) no caso de volume infinito;
(e) supondo, calcular a massa que transborda e o instante em que o reservatório esvazia nesse caso (para este item vou precisar assumir um valor de densidade do etanol — explico quando chegar lá).
Passo 2
(a) Encontrar a expressão linear da vazão de saída.
Nós sabemos que . Usamos as duas condições:
Nós sabemos que
Substituindo
na segunda equação:
Portanto a expressão é
(Pronto — é só uma reta com intercepto
e coeficiente angular
.)
Passo 3
(b) Montar e resolver a equação de balanço de massa no caso de reservatório com volume infinito (ou seja, sem transbordamento).
- Raciocínio físico: como tanto a vazão de entrada quanto a de saída estão em massa de etanol puro, o balanço é simplesmente variação de massa = entrada menos saída:
- Substituindo os valores:
e , então
Isto é uma equação diferencial simples cuja primitiva é obtida por integração direta. Integramos com a condição inicial
:
Logo
(Essa é a expressão da massa do etanol no tanque enquanto não houver transbordamento.)
Passo 4
(c) Determinar instante do máximo e valor máximo de
.
- Matemática simples: para achar máximos/ mínimos de uma função diferenciável, igualamos a derivada a zero. Já temos
. - Igualando a zero:
- Verificação de que é máximo: a derivada tem coeficiente de
negativo ( ), portanto a função é côncava para baixo e esse ponto é máximo. - Valor máximo:
Passo 5
(d) Instante em que o reservatório esvazia no caso volume infinito (ou seja, achar
tal que
).
Resolvem-se as raízes da equação quadrática
Resolvem-se as raízes da equação quadrática
Multiplicando por
e dividindo por
para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
A raiz positiva é
(A raiz negativa corresponde a tempo físico negativo e é desprezada.) Portanto, para reservatório infinito, o tanque fica vazio em
Passo 6
(e) Agora considerar volume finito
e calcular (i) a massa que transborda e (ii) o instante em que o reservatório esvazia.
Primeiro: precisamos transformar volume em massa-capacidade do tanque. O enunciado não deu a densidade, então vou assumir a densidade típica do etanol puro à temperatura ambiente: (valor usual em problemas; se seu professor usa outro valor, basta substituir e repetir os passos).
Com isso a massa máxima armazenável (capacidade mássica) é
Primeiro: precisamos transformar volume em massa-capacidade do tanque. O enunciado não deu a densidade, então vou assumir a densidade típica do etanol puro à temperatura ambiente:
Com isso a massa máxima armazenável (capacidade mássica) é
Passo 7
Encontrar o(s) instante(s) em que a curva não limitada
cruza o valor
. Isso nos diz quando o tanque enche pela primeira vez e quando, teoricamente, a curva livre cairia de novo até
.
Resolvemos
Resolvemos
Reescrevendo:
Discriminante:
As duas raízes são
Interpretação física:
- Em
a massa livre atinge a capacidade e o tanque começa a transbordar (rátio entrada > saída naquele instante crescente). - Em
a curva livre volta a cortar o valor da capacidade na fase decrescente. Contudo, o período durante o qual o tanque fica cheio (com efeito de transbordamento) é do instante em que atinge a capacidade até o instante em que a taxa líquida torne-se nula e a massa comece a diminuir — isto é, do primeiro cruzamento até o instante de máximo . Depois de a taxa líquida ( ) fica negativa e o tanque efetivamente começa a esvaziar.
Passo 8
Calcular a massa que transborda.
Enquanto o tanque está no nível máximo (cheio), o excesso de entrada sobre a saída é exatamente o que transborda (porque a massa no tanque não varia enquanto está cheia). Então a massa total que transborda é a integral da taxa líquida entre
e
:
Enquanto o tanque está no nível máximo (cheio), o excesso de entrada sobre a saída é exatamente o que transborda (porque a massa no tanque não varia enquanto está cheia). Então a massa total que transborda é a integral da taxa líquida
Sabemos
e
. Portanto
Passo 9
Calcular o instante em que o reservatório esvazia no caso com volume finito (uso a evolução real do nível após o período de transbordamento).
- Para
o tanque segue . - Para
o tanque fica cheio e a massa interna é constante (o excesso transborda). - Para
a taxa líquida torna-se negativa e o tanque começa a esvaziar: então para a equação diferencial vale normalmente (overflow quando a taxa é negativa) e a massa evolui segundo
Como
, obtemos
Sabendo
e
, a diferença é
. Assim para
O reservatório esvazia quando
, isto é quando
. Então resolvemos
Rearranjando:
Aplicando Bhaskara:
(De novo desprezamos a raiz negativa.) Portanto, no caso do reservatório com
e
, o tanque esvazia em
.
Resposta
(a)
(b)
(c) instante do máximo Valor máximo
(d) para volume infinito, instante de esvaziamento
(e) assumindo : massa de transbordo
Instante de esvaziamento com
:
(b)
(c) instante do máximo
(d) para volume infinito, instante de esvaziamento
(e) assumindo