Um grande fabricante de eletrodoméstico está propondo o projeto de um forno autolimpante que utiliza uma janela (tampa) composta para separar o interior do forno do ar ambiente. A janela é composta por dois plásticos ( A e B ) resistentes a altas temperaturas, com espessuras
e condutividades térmicas
e
. Durante o processo de autolimpeza, a temperatura das paredes interna do forno e do ar no seu interior são iguais a
, enquanto a temperatura da camada limite do ar ambiente é de
. Os coeficientes de transferência de calor por convecção e de radiação no interior do forno, bem como o coeficiente de transferência de calor por convecção do lado externo do forno são iguais e valem
.
(a) ( 5 pontos) Desenhe o circuito térmico para este problema.
(b) (15 pontos) Qual é a espessura mínima da janela
necessária para assegurar que a temperatura na superfície externa da janela não ultrapasse
?
(c) ( 10 pontos) Se existir uma resistência térmica de contato entre os dois meios (plástico), como isto interferiria na transferência de calor e na espessura
da janela?
(a) ( 5 pontos) Desenhe o circuito térmico para este problema.
(b) (15 pontos) Qual é a espessura mínima da janela
(c) ( 10 pontos) Se existir uma resistência térmica de contato entre os dois meios (plástico), como isto interferiria na transferência de calor e na espessura
Passo 1
O que o problema pede e quais dados nos são dados\n
- Perguntas: (a) desenhar o circuito térmico; (b) achar a espessura mínima da janela
para que a superfície externa não ultrapasse ; (c) discutir o efeito de uma resistência térmica de contato entre os plásticos.\n - Dados fornecidos (vou listar com símbolos e valores):\n
- Temperatura do interior do forno:
.\n - Temperatura da camada limite do ar ambiente:
.\n - Temperatura máxima permitida na superfície externa:
.\n - Espessuras relativas:
e vamos definir .\n - Condutividades térmicas:
, .\n - Coeficientes de transferência de calor: o coeficiente combinado (convecção + radiação) do lado interno é
e o coeficiente convectivo do lado externo é .\n
- Temperatura do interior do forno:
- Observação importante (interpretativa, mas consistente com o enunciado): tomo
já como o coeficiente efetivo do lado interno (convecção mais radiação somadas), igual a .\n - Objetivo numérico: encontrar o menor
tal que a temperatura na superfície externa .\n
Passo 2
Circuito térmico (resistências em série) — descrição e expressões das resistências por unidade de área\n
- O fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) sai do interior e vai para o ambiente atravessando as resistências em série: resistência convectiva interna
resistência de condução no plástico A resistência de condução no plástico B resistência convectiva externa.\n - Em forma de circuito linear (do lado quente para o frio):\n
— — — — — .\n - Definições das resistências por unidade de área (cada uma em
):\n - O total (por unidade de área) é\n
Passo 3
Expressão para a temperatura da superfície externa
em termos das resistências\n
- A densidade de fluxo de calor (por unidade de área) é dada por\n
(Explicação curta: a diferença total de temperatura se divide pelas resistências em série — é a versão térmica da Lei de Ohm: .)\n - A temperatura da superfície externa
(superfície externa do plástico B, isto é, a face que está em contacto com o ar ambiente) é a temperatura após cair as quedas de temperatura em , e . Logo\n - Substituindo
obtemos a fórmula chave que usaremos para impor :\n
Passo 4
Expressar as resistências em função de
usando
e simplificar\n
- A relação entre espessuras:
e . Daí\n (Explicação simples: e .)\n - Substituindo nas resistências de condução por unidade de área:\n
- Agora substituímos os números:
, , . Assim\n
(porque
e
).\n
- Somando as duas resistências de condução obtemos (frações exatas):\n
- Portanto temos:\n
Passo 5
Impor a condição
e resolver para
\n
- Usamos a fórmula do Passo 3 com os termos do Passo 4:\n
- Substituindo
, e impondo :\n (Aqui .)\n - Reescrevendo para isolar a fração:\n
- Chamando
e definindo , , a equação fica\n Multiplicando: .\n - Calculando com
, :\n - Voltando à definição
, obtemos\n - Valor numérico (aproximação):\n
(Arredondando com razoável precisão: .)\n
Passo 6
Interpretação física e resposta à parte (c) — efeito de uma resistência de contato entre os dois plásticos\n
- O que significa ter uma resistência térmica de contato entre os plásticos: isso é uma resistência adicional
(por unidade de área) localizada entre e . Na prática aparece por imperfeições de contato, bolhas de ar, etc.\n - Como isso altera o circuito: adiciona-se mais uma resistência em série, de modo que\n
A fórmula para passa a usar no numerador (queda até a superfície externa) e no denominador.\n - Efeito sobre a transferência de calor: como
aumenta , o fluxo diminui — ou seja, menos calor por unidade de área atravessa a janela.\n - Efeito sobre a temperatura da superfície externa
: para a mesma espessura , o fluxo menor combinado com a resistência adicional faz com que a temperatura externa tenda a diminuir ligeiramente (porque parte maior da queda de temperatura ocorre antes/na interface), portanto a superfície externa fica mais fria do que sem resistência de contato. Consequência prática: com resistência de contato presente, a espessura mínima necessária para garantir pode ser menor do que a calculada desconsiderando o contato. Em outras palavras, a resistência de contato reduz o calor transferido e, portanto, facilita manter a superfície externa abaixo do limite — mas atenção: existe um efeito indesejável de “pico” de temperatura na interface (salto de temperatura), que pode ser problemático para integridade do material.\n - Observação prática final: embora resistência de contato reduza o fluxo e possa permitir menor
, ela também representa não-uniformidade e potencial ponto de falha (degradação térmica, hotspots). Portanto na engenharia costuma-se minimizar resistências de contato indesejadas, ou então incluir explicitamente no projeto se for inevitável.\n
Resposta
(a) Circuito térmico: série
—
—
—
—
—
.\n
(b) Espessura mínima (aprox.
).\n
(c) A presença de uma resistência de contato adiciona uma resistência em série, reduz o fluxo de calor
e tende a diminuir a temperatura da superfície externa para uma mesma
; portanto permitiria, em princípio, uma
menor para manter
. Contudo gera salto de temperatura na interface (potenciais problemas locais) e por isso deve ser tratado com cautela.
(b) Espessura mínima
(c) A presença de uma resistência de contato