Um grande fabricante de eletrodoméstico está propondo o projeto de um forno autolimpante que utiliza uma janela (tampa) composta para separar o interior do forno do ar ambiente. A janela é composta por dois plásticos ( A e B ) resistentes a altas temperaturas, com espessuras \mathrm{L}_{\mathrm{A}}=2 \mathrm{~L}_{\mathrm{B}} e condutividades térmicas \mathrm{K}_{\mathrm{A}}=0,15 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} e \mathrm{K}_{\mathrm{B}}=0,18 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. Durante o processo de autolimpeza, a temperatura das paredes interna do forno e do ar no seu interior são iguais a 400^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura da camada limite do ar ambiente é de 25^{\circ} \mathrm{C}. Os coeficientes de transferência de calor por convecção e de radiação no interior do forno, bem como o coeficiente de transferência de calor por convecção do lado externo do forno são iguais e valem 25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
(a) ( 5 pontos) Desenhe o circuito térmico para este problema.
(b) (15 pontos) Qual é a espessura mínima da janela L=L_{A}+L_{B} necessária para assegurar que a temperatura na superfície externa da janela não ultrapasse 50^{\circ} \mathrm{C} ?
(c) ( 10 pontos) Se existir uma resistência térmica de contato entre os dois meios (plástico), como isto interferiria na transferência de calor e na espessura L da janela?

Passo 1

O que o problema pede e quais dados nos são dados\n
  • Perguntas: (a) desenhar o circuito térmico; (b) achar a espessura mínima da janela L=L_A+L_B para que a superfície externa não ultrapasse 50^\circ\mathrm{C}; (c) discutir o efeito de uma resistência térmica de contato entre os plásticos.\n
  • Dados fornecidos (vou listar com símbolos e valores):\n
    • Temperatura do interior do forno: T_i=400^\circ\mathrm{C}.\n
    • Temperatura da camada limite do ar ambiente: T_\infty=25^\circ\mathrm{C}.\n
    • Temperatura máxima permitida na superfície externa: T_{s,\max}=50^\circ\mathrm{C}.\n
    • Espessuras relativas: L_A=2L_B e vamos definir L=L_A+L_B.\n
    • Condutividades térmicas: k_A=0{,}15\\ \mathrm{W/mK}, k_B=0{,}18\\ \mathrm{W/mK}.\n
    • Coeficientes de transferência de calor: o coeficiente combinado (convecção + radiação) do lado interno é h_{\mathrm{in}}=25\\ \mathrm{W/(m^2K)} e o coeficiente convectivo do lado externo é h_{\mathrm{out}}=25\\ \mathrm{W/(m^2K)}.\n
  • Observação importante (interpretativa, mas consistente com o enunciado): tomo h_{\mathrm{in}} já como o coeficiente efetivo do lado interno (convecção mais radiação somadas), igual a 25\\ \mathrm{W/(m^2K)}.\n
  • Objetivo numérico: encontrar o menor L tal que a temperatura na superfície externa T_s\le 50^\circ\mathrm{C}.\n

Passo 2

Circuito térmico (resistências em série) — descrição e expressões das resistências por unidade de área\n
  • O fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) sai do interior e vai para o ambiente atravessando as resistências em série: resistência convectiva interna \to resistência de condução no plástico A \to resistência de condução no plástico B \to resistência convectiva externa.\n
  • Em forma de circuito linear (do lado quente para o frio):\n
    T_i [R_{\mathrm{conv,in}}] [R_{\mathrm{cond},A}] [R_{\mathrm{cond},B}] [R_{\mathrm{conv,out}}] T_\infty.\n
  • Definições das resistências por unidade de área (cada uma em \mathrm{m^2K/W}):\n R_{\mathrm{conv,in}}=\frac{1}{h_{\mathrm{in}}},\qquad R_{\mathrm{cond},A}=\frac{L_A}{k_A},\qquad R_{\mathrm{cond},B}=\frac{L_B}{k_B},\qquad R_{\mathrm{conv,out}}=\frac{1}{h_{\mathrm{out}}}.
  • O total (por unidade de área) é\n R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{conv,in}}+R_{\mathrm{cond},A}+R_{\mathrm{cond},B}+R_{\mathrm{conv,out}}.

Passo 3

Expressão para a temperatura da superfície externa T_s em termos das resistências\n
  • A densidade de fluxo de calor (por unidade de área) é dada por\n q''=\frac{T_i-T_\infty}{R_{\mathrm{tot}}}.(Explicação curta: a diferença total de temperatura se divide pelas resistências em série — é a versão térmica da Lei de Ohm: q''=\Delta T/R.)\n
  • A temperatura da superfície externa T_s (superfície externa do plástico B, isto é, a face que está em contacto com o ar ambiente) é a temperatura após cair as quedas de temperatura em R_{\mathrm{conv,in}}, R_{\mathrm{cond},A} e R_{\mathrm{cond},B}. Logo\n T_s = T_i - q''\bigl(R_{\mathrm{conv,in}}+R_{\mathrm{cond},A}+R_{\mathrm{cond},B}\bigr).
  • Substituindo q'' obtemos a fórmula chave que usaremos para impor T_s=T_{s,\max}:\n T_s = T_i - (T_i-T_\infty)\,\frac{R_{\mathrm{conv,in}}+R_{\mathrm{cond},A}+R_{\mathrm{cond},B}}{R_{\mathrm{tot}}}.

Passo 4

Expressar as resistências em função de L usando L_A=2L_B e simplificar\n
  • A relação entre espessuras: L_A=2L_B e L=L_A+L_B. Daí\n L_A=\frac{2}{3}L,\qquad L_B=\frac{1}{3}L.(Explicação simples: L_A+L_B=2L_B+L_B=3L_B\Rightarrow L_B=L/3 e L_A=2L/3.)\n
  • Substituindo nas resistências de condução por unidade de área:\n R_{\mathrm{cond},A}=\frac{L_A}{k_A}=\frac{2L/3}{k_A},\qquad R_{\mathrm{cond},B}=\frac{L_B}{k_B}=\frac{L/3}{k_B}.
  • Agora substituímos os números: h_{\mathrm{in}}=h_{\mathrm{out}}=25\\ \mathrm{W/(m^2K)}, k_A=0{,}15, k_B=0{,}18. Assim\n R_{\mathrm{conv,in}}=R_{\mathrm{conv,out}}=\frac{1}{25}=\frac{1}{25}\\ \mathrm{m^2K/W}.
R_{\mathrm{cond},A}=\frac{2L/3}{0{,}15}=\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{0{,}15}\right)L=\frac{40}{9}\,L
(porque \frac{1}{0{,}15}=\frac{100}{15}=\frac{20}{3} e \frac{2}{3}\cdot\frac{20}{3}=\frac{40}{9}).\n
R_{\mathrm{cond},B}=\frac{L/3}{0{,}18}=\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{0{,}18}\right)L=\frac{50}{27}\,L.
  • Somando as duas resistências de condução obtemos (frações exatas):\n R_{\mathrm{cond},A}+R_{\mathrm{cond},B}=\frac{40}{9}L+\frac{50}{27}L=\frac{170}{27}\,L.
  • Portanto temos:\n R_{\mathrm{inner+cond}}:=R_{\mathrm{conv,in}}+R_{\mathrm{cond},A}+R_{\mathrm{cond},B}=\frac{1}{25}+\frac{170}{27}L,
R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{inner+cond}}+R_{\mathrm{conv,out}}=\frac{2}{25}+\frac{170}{27}L.

Passo 5

Impor a condição T_s=T_{s,\max}=50^\circ\mathrm{C} e resolver para L\n
  • Usamos a fórmula do Passo 3 com os termos do Passo 4:\n T_s = T_i - (T_i-T_\infty)\frac{\dfrac{1}{25}+\dfrac{170}{27}L}{\dfrac{2}{25}+\dfrac{170}{27}L}.
  • Substituindo T_i=400^\circ\mathrm{C}, T_\infty=25^\circ\mathrm{C} e impondo T_s=50^\circ\mathrm{C}:\n 50 = 400 - 375\cdot\frac{\dfrac{1}{25}+\dfrac{170}{27}L}{\dfrac{2}{25}+\dfrac{170}{27}L}.(Aqui 375=400-25.)\n
  • Reescrevendo para isolar a fração:\n \frac{350}{375}=\frac{\dfrac{1}{25}+\dfrac{170}{27}L}{\dfrac{2}{25}+\dfrac{170}{27}L}.
\frac{14}{15}=\frac{\dfrac{1}{25}+\dfrac{170}{27}L}{\dfrac{2}{25}+\dfrac{170}{27}L}.
  • Chamando x=\dfrac{170}{27}L e definindo a=\dfrac{1}{25}, b=\dfrac{2}{25}, a equação fica\n \frac{14}{15}=\frac{a+x}{b+x}.Multiplicando: 15(a+x)=14(b+x)\Rightarrow 15a+15x=14b+14x\Rightarrow x=14b-15a.\n
  • Calculando com a=\dfrac{1}{25}, b=\dfrac{2}{25}:\n x=14\cdot\frac{2}{25}-15\cdot\frac{1}{25}=\frac{28-15}{25}=\frac{13}{25}=0{,}52.
  • Voltando à definição x=\dfrac{170}{27}L, obtemos\n \frac{170}{27}L=\frac{13}{25}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{13}{25}\cdot\frac{27}{170}=\frac{351}{4250}\\ \mathrm{m}.
  • Valor numérico (aproximação):\n L\approx 0{,}0825882353\\ \mathrm{m}\approx 0{,}08259\\ \mathrm{m}=82{,}59\\ \mathrm{mm}.(Arredondando com razoável precisão: L\approx 82{,}6\\ \mathrm{mm}.)\n

Passo 6

Interpretação física e resposta à parte (c) — efeito de uma resistência de contato entre os dois plásticos\n
  • O que significa ter uma resistência térmica de contato entre os plásticos: isso é uma resistência adicional R_{\mathrm{cont}} (por unidade de área) localizada entre R_{\mathrm{cond},A} e R_{\mathrm{cond},B}. Na prática aparece por imperfeições de contato, bolhas de ar, etc.\n
  • Como isso altera o circuito: adiciona-se mais uma resistência em série, de modo que\n R_{\mathrm{tot,new}}=R_{\mathrm{tot}}+R_{\mathrm{cont}}.A fórmula para T_s passa a usar R_{\mathrm{inner+cond}}' = R_{\mathrm{inner+cond}}+R_{\mathrm{cont}} no numerador (queda até a superfície externa) e R_{\mathrm{tot,new}} no denominador.\n
  • Efeito sobre a transferência de calor: como R_{\mathrm{cont}}>0 aumenta R_{\mathrm{tot}}, o fluxo q''=(T_i-T_\infty)/R_{\mathrm{tot}} diminui — ou seja, menos calor por unidade de área atravessa a janela.\n
  • Efeito sobre a temperatura da superfície externa T_s: para a mesma espessura L, o fluxo menor combinado com a resistência adicional faz com que a temperatura externa tenda a diminuir ligeiramente (porque parte maior da queda de temperatura ocorre antes/na interface), portanto a superfície externa fica mais fria do que sem resistência de contato. Consequência prática: com resistência de contato presente, a espessura mínima L necessária para garantir T_s\le 50^\circ\mathrm{C} pode ser menor do que a calculada desconsiderando o contato. Em outras palavras, a resistência de contato reduz o calor transferido e, portanto, facilita manter a superfície externa abaixo do limite — mas atenção: existe um efeito indesejável de “pico” de temperatura na interface (salto de temperatura), que pode ser problemático para integridade do material.\n
  • Observação prática final: embora resistência de contato reduza o fluxo e possa permitir menor L, ela também representa não-uniformidade e potencial ponto de falha (degradação térmica, hotspots). Portanto na engenharia costuma-se minimizar resistências de contato indesejadas, ou então incluir explicitamente R_{\mathrm{cont}} no projeto se for inevitável.\n

Resposta

(a) Circuito térmico: série T_i R_{\mathrm{conv,in}}=\dfrac{1}{h_{\mathrm{in}}} R_{\mathrm{cond},A}=\dfrac{L_A}{k_A} R_{\mathrm{cond},B}=\dfrac{L_B}{k_B} R_{\mathrm{conv,out}}=\dfrac{1}{h_{\mathrm{out}}} T_\infty.\n
(b) Espessura mínima L=\dfrac{351}{4250}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}08259\\ \mathrm{m} (aprox. 82{,}6\\ \mathrm{mm}).\n
(c) A presença de uma resistência de contato R_{\mathrm{cont}}>0 adiciona uma resistência em série, reduz o fluxo de calor q'' e tende a diminuir a temperatura da superfície externa para uma mesma L; portanto permitiria, em princípio, uma L menor para manter T_s\le 50^\circ\mathrm{C}. Contudo gera salto de temperatura na interface (potenciais problemas locais) e por isso deve ser tratado com cautela.

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