6.6) Precauções no Emprego da Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli não pode ser aplicada através de uma máquina tal como uma hélice propulsora, bomba, turbina ou moinho de vento. A equação foi deduzida por integração ao longo de um tubo de corrente (Capítulo 4) ou de uma linha de corrente (Seção 6.4) na ausência de superfícies móveis, tais como pás ou hélices. É impossível ter um escoamento localmente em regime permanente ou identificar linhas de corrente em um escoamento através, por exemplo, de uma turbo máquina. Portanto, a equação de Bernoulli pode ser aplicada entre pontos antes de uma máquina e entre pontos após uma máquina, ela não pode ser aplicada através da máquina.

Passo 1

O enunciado diz que a equação de Bernoulli não pode ser aplicada “através” de uma máquina (hélice, bomba, turbina, etc.) e justifica: a dedução da equação foi feita integrando-se ao longo de um tubo/linha de corrente na ausência de superfícies móveis (pás, hélices). O enunciado afirma que dentro de uma turbomáquina não é possível ter escoamento localmente permanente nem identificar linhas de corrente no referencial fixo, logo Bernoulli não vale atravessando a máquina, embora possa ser aplicada entre pontos antes da máquina e entre pontos após a máquina.
Informações dadas (lista clara):
  • A equação de Bernoulli foi deduzida por integração ao longo de uma linha/tubo de corrente sem superfícies móveis.
  • Máquinas com pás/hélices introduzem superfícies móveis e troca de energia entre fluido e sólido.
  • Portanto, não se aplica Bernoulli através da máquina; só entre pontos antes e depois.

Passo 2

O que é exatamente a equação de Bernoulli e quais são as hipóteses por trás dela? Vou explicar passo a passo, sem pular nada.
A forma usual (por unidade de massa) é
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante ao longo da linha de corrente}
onde
  • p é a pressão (N/m²),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m³),
  • v é a velocidade do fluido no ponto considerado (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s²),
  • z é a cota vertical do ponto (m).
    Interpretação física: os três termos representam, respectivamente, energia de pressão por unidade de volume, energia cinética por unidade de volume e energia potencial gravitacional por unidade de volume. Bernoulli resulta da integração das equações de movimento (Euler, sem viscosidade) ao longo de uma linha de corrente assumindo:
  1. escoamento incompressível (ou densidade constante),
  2. escoamento estacionário (no referencial em que avaliamos),
  3. ausência de troca de trabalho entre fluido e superfícies móveis ao longo do trecho considerado,
  4. forças viscosas desprezíveis (ou perdas modeladas separadamente).

Passo 3

Por que a presença de uma turbomáquina viola essas hipóteses? Vou detalhar bem, do jeito que você pode usar na prova.
  • Superfícies móveis (pás, rotor) trocam trabalho com o fluido: o fluido pode ganhar ou perder energia diretamente pela interação com as pás. Isso é exatamente uma fonte ou sumidouro de energia que não está presente na equação de Bernoulli original.
  • Dentro da máquina, o escoamento no referencial fixo é tipicamente não-estacionário ou tem acelerações impostas pelas pás; as linhas de corrente no referencial fixo não são as mesmas que em escoamento sem movimento. A derivação de Bernoulli integra forças conservativas ao longo de uma linha de corrente — quando há forças não-conservativas (trabalho da pá) você não pode fazer essa integração e obter uma constante.
  • Conclusão prática: ao atravessar a máquina existe troca de energia por trabalho do eixo; portanto não existe uma “mesma constante de Bernoulli” em todo o caminho que inclua a máquina.

Passo 4

Como então tratar problemas com bombas/turbinas na prática (a forma correta, que você deve decorar e aplicar na prova)?
Usamos a equação de energia ou uma forma modificada de Bernoulli que inclui termos de trabalho e perdas. Em termos de altura específica (por unidade de peso) a forma conveniente é
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^{2}}{2g} + z_1 + h_A = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^{2}}{2g} + z_2 + h_L
onde
  • os índices 1 e 2 são dois pontos escolhidos (um antes e outro depois da máquina, ou em qualquer trecho onde Bernoulli possa ser aplicado entre eles),
  • h_A é a “carga” ou “cabeça” adicionada pelo equipamento (por exemplo, bomba). h_A>0 quando a máquina fornece energia ao fluido (bomba), h_A<0 quando retira energia (turbina). Unidade: metros.
  • h_L é a perda de carga por atrito/pequenas dissipações (sempre \ge 0). Unidade: metros.
    Explicação de onde vem h_A: é o trabalho por unidade peso fornecido pelo eixo. Se \dot{W} é a potência do eixo (W) e \dot{m} a vazão mássica (kg/s), então a cabeça adicionada por unidade de peso é
h_A = \frac{\dot{W}}{\dot{m} g}.
Se preferir por unidade de massa: adicione \frac{\dot{W}}{\dot{m}} aos termos de energia por unidade de massa; mas a forma em metros ( \text{m}) é muito usada em hidráulica.

Passo 5

Mostrando um caso simples e concreto para fixar (fácil de reproduzir na prova). Suponha fluxo incompressível com mesma velocidade e mesma cota em pontos imediatamente antes ( 1) e depois ( 2) da bomba, mas com pressão diferente e perdas desprezíveis. A equação reduz a
\frac{p_1}{\rho g} + h_A = \frac{p_2}{\rho g}.
Rearranjando,
h_A = \frac{p_2 - p_1}{\rho g}.
Ou, em potência, se a vazão volumétrica é Q (m³/s), a potência fornecida pelo eixo da bomba (ideal, sem perdas) é
\dot{W} = \rho g Q h_A.
Interpretação prática: a bomba aumenta a energia por unidade peso do fluido — essa é a razão pela qual você não pode simplesmente aplicar Bernoulli atravessando a bomba sem incluir esse termo.

Passo 6

Regras práticas que você deve seguir na prova (passo a passo tipo check-list):
  1. Identifique pontos onde o escoamento é aproximadamente estacionário e sem superfícies móveis entre eles (por exemplo: dois pontos na tubulação antes da bomba; dois pontos na tubulação após a bomba). Entre esses pontos você pode aplicar Bernoulli padrão (ou a forma com perdas).
  2. Nunca escreva a forma simples de Bernoulli conectando um ponto antes da bomba a um ponto depois da bomba sem acrescentar h_A (ou sem justificar que o trabalho do eixo é nulo).
  3. Se precisar considerar a máquina, use a equação de energia com h_A e com h_L para perdas; escolha sinais corretamente: bomba -> h_A>0; turbina -> h_A<0.
  4. Se o problema pedir potência da bomba/turbina, use \dot{W}=\rho g Q h_A (ou \dot{W}=\dot{m} g h_A se trabalhar com massa).
  5. Se houver escoamento relativo (por exemplo análise no referencial do rotor), aí é outro método (teoria de turbomáquinas, linhas de força relativas), mas para a maioria das questões de prova basta usar a equação de energia com h_A.

Passo 7

Exemplo mental rápido para fixar (sem contas longas): uma bomba eleva pressão de 50\\ \text{kPa} para 250\\ \text{kPa} numa água ( \rho\approx 1000\\ \text{kg/m}^3). Se a cota e velocidade forem constantes e não houver perdas,
h_A = \frac{p_2-p_1}{\rho g} = \frac{20000\\ \text{Pa}}{1000\cdot 9{,}81}\approx 2{,}04\\ \text{m}.
Isso significa que a bomba adicionou cerca de 2{,}04 metros de “cabeça” ao fluido. A potência para Q=0{,}02\\ \text{m}^3/\text{s} seria \dot{W}=\rho g Q h_A\approx 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}02\cdot 2{,}04 W — só para você ver como aplicar rápido na prova.

Passo 8

Erros comuns que você deve evitar (direto ao ponto):
  • Aplicar Bernoulli sem termo h_A conectando pontos antes e depois da máquina.
  • Esquecer perdas h_L quando pedem energia real dissipada.
  • Confundir sinais: bomba adiciona energia (positivo), turbina retira energia (negativo).
  • Esquecer que a equação deve ser consistente em unidades (usar sempre metros, Pa, kg/m³, etc., e lembrar g se usar forma por unidade de peso).

Resposta

A equação de Bernoulli simples não pode ser aplicada através de uma turbomáquina porque as pás/hélices fazem trabalho sobre o fluido (ou o fluido faz trabalho sobre as pás), violando as hipóteses de derivação de Bernoulli. Pode-se aplicar Bernoulli entre pontos antes da máquina e entre pontos após a máquina, mas não através dela; para ligar pontos em lados opostos da máquina deve-se usar a equação de energia com o termo de cabeça adicionada/retirada h_A:
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1 + h_A = \frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2 + h_L,
e a potência do eixo está relacionada por \dot{W}=\rho g Q h_A (ou \dot{W}=\dot{m} g h_A).

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