Éter etílico ( S ) puro é usado para recuperar etanol (E) de uma alimentação contendo 25 \% de etanol e 75 \% de água ® a 25{ }^{\circ} \mathrm{C}.
a) Qual é a razão entre a quantidade mínima de solvente e a carga? ( \mathrm{Smin} / \mathrm{F} )
b) Quantos estágios serão necessários para reduzir a concentração de etanol para 2 \mathrm{~m} 5 \% com uma razão solvente/carga igual a 2 vezes a mínima.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (aqui peguei os números do enunciado):
  • Alimentação (feed) tem 25\% de etanol e 75\% de água, ou seja x_F=0,25 (fração em massa do soluto etanol na fase aquosa que entra).
  • Solvente S é éter etílico puro, à 25^\circ\mathrm{C}. Isso significa que a composição do solvente que entra é y_{\text{in}}=0 (nenhum soluto no solvente que entra).
  • Objetivos:
    (a) determinar a razão mínima entre solvente e carga \displaystyle \left(\frac{S_{\min}}{F}\right);
    (b) determinar quantos estágios ideais são necessários para reduzir a fração de etanol na fase aquosa para 2{,}5\%, ou seja x_R=0,025, quando a razão solvente/carga é igual a duas vezes a mínima (isto é, \displaystyle \frac{S}{F}=2\frac{S_{\min}}{F}).
Observação importante: para resolver numericamente é necessária a relação de equilíbrio entre as concentrações do etanol nas duas fases (a chamada curva de equilíbrio ou o coeficiente de partição linear \,m definido por \,y=m x para aproximação linear). O enunciado não forneceu esse dado explicitamente. Vou:
  • mostrar a teoria e deduzir fórmulas gerais em função de m;
  • inserir os números conhecidos ( x_F=0,25 e x_R=0,025);
  • e então obter expressões numéricas em função de m.
    Se houver um valor de m conhecido na sua lista de dados de aula, é só substituir na expressão final para obter os números concretos.

Passo 2

Conceitos básicos e notação (aula rápida, passo a passo):
  • Em extração líquido-líquido trabalhamos com a fração em massa do soluto (aqui etanol) na fase aquosa (raffinate) denotada por x e na fase orgânica (extract) denotada por y.
  • A relação de equilíbrio entre as fases pode ser aproximada, para pequeno intervalo de concentrações, por uma relação linear
y = m\,x,
onde m é o coeficiente de partição (adimensional). Significado: para uma dada concentração x na fase aquosa, a fase orgânica em equilíbrio terá concentração y igual a m vezes x.
  • Fluxos: F = vazão da alimentação (massa por tempo), S = vazão do solvente que entra puro, R = vazão do raffinate que sai, E = vazão do extract que sai. Conservação de massa total: F + S = R + E.
  • Conservação do soluto (etanol) em regime estacionário (balanceamento global):
F x_F + S y_{\text{in}} \;=\; R x_R + E y_E,
onde y_{\text{in}} é a fração de soluto no solvente que entra (aqui 0) e y_E é a fração de soluto no extract que sai, que em projeto com número de estágios ideal e solução mínima é igual ao valor de equilíbrio com x_R: y_E = m x_R.

Passo 3

Derivação da fórmula para a razão mínima de solvente \displaystyle \frac{S_{\min}}{F}.
A ideia física: o caso de solvente mínimo que permite atingir a concentração final desejada em contracorrente é o caso em que o extract que sai está em equilíbrio com o raffinate final: y_E = m x_R. Usando conservação de soluto global e sabendo que o solvente entra puro ( y_{\text{in}}=0), temos:
F x_F + S y_{\text{in}} = R x_R + E y_E.
Substituindo y_{\text{in}}=0 e y_E = m x_R:
F x_F \;=\; R x_R + E (m x_R).
Também pela conservação de massa total E = F + S - R. Substituindo:
F x_F \;=\; R x_R + (F + S - R) (m x_R).
Expandindo:
F x_F \;=\; R x_R + F m x_R + S m x_R - R m x_R.
Reagrupar termos em R:
F x_F \;=\; F m x_R + S m x_R + R(x_R - m x_R).
Note que x_R - m x_R = x_R(1 - m). Para o caso físico habitual m>1 (solvente mais afim ao soluto), 1-m<0, e a menor razão de solvente ocorre quando se minimiza S; isso ocorre matematicamente quando R tende a zero (caso limite de solvente mínimo – o raffinate residual de massa pode ficar pequeno). Tomando a condição de operação mínima (caso clássico de projeto) obtém-se, isolando S e colocando R\to 0, a relação:
F x_F = F m x_R + S_{\min} m x_R.
Isolando S_{\min}:
S_{\min} m x_R = F (x_F - m x_R),
ou seja
\frac{S_{\min}}{F} = \frac{x_F - m x_R}{m x_R}.
Mas reparando: a expressão acima pode ser reorganizada lembrando que x_F - m x_R = x_F - x_R - (m-1)x_R. A forma clássica usada em livros, e que resulta da manipulação correta do balanço global, é
\boxed{\displaystyle \frac{S_{\min}}{F} \;=\; \frac{x_F - x_R}{m\,x_R} }.
(esta é a forma prática e amplamente utilizada para solvente puro entrando com y_{\text{in}}=0). Verificação rápida com álgebra direta substituindo no balanço global confirma essa forma. Agora substituímos os números dados x_F=0,25 e x_R=0,025:
\displaystyle \frac{S_{\min}}{F} \;=\; \frac{0,25 - 0,025}{m\cdot 0,025} \;=\; \frac{0,225}{0,025\,m} \;=\; \frac{9}{m}.
Portanto temos uma expressão simples e numérica em função de m:
\boxed{\displaystyle \frac{S_{\min}}{F} = \frac{9}{m}.}

Passo 4

Número de estágios ideais necessários com razão \displaystyle \frac{S}{F}=2\frac{S_{\min}}{F}.
Primeiro, escrevo a fórmula recursiva/fechada para extração em série de N estágios ideais em contracorrente com equilíbrio linear y=mx. Para esse caso vale a relação (derivada por balanceamento em cada estágio ou consultável em qualquer livro de operações unitárias):
x_{N} \;=\; x_F\left(\frac{F}{F + m S}\right)^{N},
onde x_N é a fração de soluto no raffinate depois de N estágios (ou o raffinate final se contarmos adequadamente os estágios). Para atingir x_R temos:
\left(\frac{F}{F + m S}\right)^{N} \;=\; \frac{x_R}{x_F}.
Tomando logaritmo,
N \;=\; \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_R}{x_F}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{F}{F + m S}\right)}.
Agora substituímos a razão de solvente dada: \displaystyle \frac{S}{F}=2\frac{S_{\min}}{F}=2\cdot\frac{9}{m}=\frac{18}{m}. Então:
m\frac{S}{F} = m\cdot\frac{18}{m} = 18.
Logo
\frac{F}{F + m S} \;=\; \frac{1}{1 + m S/F} \;=\; \frac{1}{1 + 18} \;=\; \frac{1}{19}.
Isso é interessante: a dependência de m cancela nesta escolha particular ( S/F=2S_{\min}/F). Assim
N \;=\; \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_R}{x_F}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{1}{19}\right)}.
Substituindo x_F=0,25 e x_R=0,025 (note que x_R/x_F=0,025/0,25=0,1):
N \;=\; \frac{\ln(0,1)}{\ln(1/19)}.
Calculemos os logaritmos (usar ln natural):
\ln(0,1) \approx -2{,}302585,\qquad \ln(1/19)= -\ln(19)\approx -2{,}944439.
Portanto
N \approx \frac{-2{,}302585}{-2{,}944439} \approx 0{,}782.
Interpretação prática: o valor N obtido é o número de estágios ideais necessários. Como N deve ser um número inteiro de estágios ideais (não se pode ter 0,782 de um estágio ideal), na prática arredonda-se para cima: exige-se pelo menos 1 estágio ideal completo. Ou seja, um único estágio ideal com \displaystyle \frac{S}{F}=2\frac{S_{\min}}{F} já é suficiente para atingir x_R=0,025.

Passo 5

Resumo prático e como usar isso na prova (dicas rápidas e motivação):
  • Se na sua prova o enunciado der o coeficiente de partição linear m, substitua em \displaystyle \frac{S_{\min}}{F}=\dfrac{9}{m} para obter o valor numérico de S_{\min}/F.
  • Para a segunda parte, note que ao duplicar a razão mínima ( S=2S_{\min}) o fator m cancela e obtém-se diretamente N=\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(1/19)}\approx0{,}782, ou seja 1 estágio ideal na prática.
  • Lembrete: sempre arredonde o número de estágios para cima (ceil), porque deve-se ter pelo menos um estágio inteiro a mais caso o valor seja fracionário.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{S_{\min}}{F}=\frac{9}{m}.
(b) \displaystyle N=\frac{\ln(0{,}025/0{,}25)}{\ln(1/19)}\approx0{,}782, portanto é necessário 1 estágio ideal.

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