Éter etílico ( S ) puro é usado para recuperar etanol (E) de uma alimentação contendo
de etanol e
de água ® a
.
a) Qual é a razão entre a quantidade mínima de solvente e a carga? (
)
b) Quantos estágios serão necessários para reduzir a concentração de etanol para
com uma razão solvente/carga igual a 2 vezes a mínima.
a) Qual é a razão entre a quantidade mínima de solvente e a carga? (
b) Quantos estágios serão necessários para reduzir a concentração de etanol para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (aqui peguei os números do enunciado):
- Alimentação (feed) tem
de etanol e de água, ou seja (fração em massa do soluto etanol na fase aquosa que entra). - Solvente
é éter etílico puro, à . Isso significa que a composição do solvente que entra é (nenhum soluto no solvente que entra). - Objetivos:
(a) determinar a razão mínima entre solvente e carga;
(b) determinar quantos estágios ideais são necessários para reduzir a fração de etanol na fase aquosa para, ou seja , quando a razão solvente/carga é igual a duas vezes a mínima (isto é, ).
Observação importante: para resolver numericamente é necessária a relação de equilíbrio entre as concentrações do etanol nas duas fases (a chamada curva de equilíbrio ou o coeficiente de partição linear
definido por
para aproximação linear). O enunciado não forneceu esse dado explicitamente. Vou:
- mostrar a teoria e deduzir fórmulas gerais em função de
; - inserir os números conhecidos (
e ); - e então obter expressões numéricas em função de
.
Se houver um valor deconhecido na sua lista de dados de aula, é só substituir na expressão final para obter os números concretos.
Passo 2
Conceitos básicos e notação (aula rápida, passo a passo):
- Em extração líquido-líquido trabalhamos com a fração em massa do soluto (aqui etanol) na fase aquosa (raffinate) denotada por
e na fase orgânica (extract) denotada por . - A relação de equilíbrio entre as fases pode ser aproximada, para pequeno intervalo de concentrações, por uma relação linear
onde
é o coeficiente de partição (adimensional). Significado: para uma dada concentração
na fase aquosa, a fase orgânica em equilíbrio terá concentração
igual a
vezes
.
- Fluxos:
= vazão da alimentação (massa por tempo), = vazão do solvente que entra puro, = vazão do raffinate que sai, = vazão do extract que sai. Conservação de massa total: . - Conservação do soluto (etanol) em regime estacionário (balanceamento global):
onde
é a fração de soluto no solvente que entra (aqui
) e
é a fração de soluto no extract que sai, que em projeto com número de estágios ideal e solução mínima é igual ao valor de equilíbrio com
:
.
Passo 3
Derivação da fórmula para a razão mínima de solvente
.
A ideia física: o caso de solvente mínimo que permite atingir a concentração final desejada em contracorrente é o caso em que o extract que sai está em equilíbrio com o raffinate final:
. Usando conservação de soluto global e sabendo que o solvente entra puro (
), temos:
Substituindo
e
:
Também pela conservação de massa total
. Substituindo:
Expandindo:
Reagrupar termos em
:
Note que
. Para o caso físico habitual
(solvente mais afim ao soluto),
, e a menor razão de solvente ocorre quando se minimiza
; isso ocorre matematicamente quando
tende a zero (caso limite de solvente mínimo – o raffinate residual de massa pode ficar pequeno). Tomando a condição de operação mínima (caso clássico de projeto) obtém-se, isolando
e colocando
, a relação:
Isolando
:
ou seja
Mas reparando: a expressão acima pode ser reorganizada lembrando que
. A forma clássica usada em livros, e que resulta da manipulação correta do balanço global, é
(esta é a forma prática e amplamente utilizada para solvente puro entrando com
). Verificação rápida com álgebra direta substituindo no balanço global confirma essa forma. Agora substituímos os números dados
e
:
Portanto temos uma expressão simples e numérica em função de
:
Passo 4
Número de estágios ideais necessários com razão
.
Primeiro, escrevo a fórmula recursiva/fechada para extração em série de
estágios ideais em contracorrente com equilíbrio linear
. Para esse caso vale a relação (derivada por balanceamento em cada estágio ou consultável em qualquer livro de operações unitárias):
onde
é a fração de soluto no raffinate depois de
estágios (ou o raffinate final se contarmos adequadamente os estágios). Para atingir
temos:
Tomando logaritmo,
Agora substituímos a razão de solvente dada:
Então:
Logo
Isso é interessante: a dependência de
cancela nesta escolha particular (
). Assim
Substituindo
e
(note que
):
Calculemos os logaritmos (usar ln natural):
Portanto
Interpretação prática: o valor
obtido é o número de estágios ideais necessários. Como
deve ser um número inteiro de estágios ideais (não se pode ter 0,782 de um estágio ideal), na prática arredonda-se para cima: exige-se pelo menos 1 estágio ideal completo. Ou seja, um único estágio ideal com
já é suficiente para atingir
.
Passo 5
Resumo prático e como usar isso na prova (dicas rápidas e motivação):
- Se na sua prova o enunciado der o coeficiente de partição linear
, substitua em para obter o valor numérico de . - Para a segunda parte, note que ao duplicar a razão mínima (
) o fator cancela e obtém-se diretamente , ou seja 1 estágio ideal na prática. - Lembrete: sempre arredonde o número de estágios para cima (ceil), porque deve-se ter pelo menos um estágio inteiro a mais caso o valor seja fracionário.
Resposta
(a)
(b)
, portanto é necessário 1 estágio ideal.