A água ( S ) é usada para separar a acetona ( E ) do clorofórmio ( R ) em uma coluna de extração em contracorrente. A alimentação F contém quantidades iguais de acetona e clorofórmio. O solvente S é água pura. A coluna operará a 25^{\circ} \mathrm{C} e a razão S/F é igual a 1,565 . Calcular as taxas e composições dos produtos, sabendo-se que a coluna possui 8 estágios de equilíbrio. Qual a quantidade mínima de solvente?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
Dados fornecidos (peguei do enunciado):
  • A alimentação F contém quantidades iguais de acetona e clorofórmio. Portanto a fração (por massa, ou por mol se for base molar — escolheremos uma base depois) de acetona na fase orgânica da alimentação é
x_F = 0{,}5.
  • O solvente S é água pura; isto significa que a composição de acetona no solvente que entra na coluna é zero:
y_{n+1} = 0.
  • A razão de vazões é
\frac{S}{F} = 1{,}565.
  • A coluna tem n = 8 estágios de equilíbrio.
  • Temperatura de operação 25^\circ\mathrm{C} (que normalmente determina a curva de equilíbrio).
O enunciado pede:
  • Calcular as vazões e composições dos produtos (ou seja, composição e vazão do raffinate R — saída orgânica — e do extract E — saída aquosa), sabendo as condições acima.
  • Calcular a quantidade mínima de solvente.
Importante: o enunciado NÃO fornece a lei de equilíbrio entre as fases (ou seja, a relação que dá a fração de acetona na fase aquosa y em função da fração na fase orgânica x à 25^\circ\mathrm{C}, ou uma tabela de equilíbrio/tie‑lines). Essa informação de equilíbrio (curva y=f(x) ou coeficiente de partição/constante de distribuição) é essencial para determinar quantitativamente as composições e as vazões de saída. Sem essa curva/valor não é possível terminar os cálculos numéricos.
Vou agora explicar passo a passo o método completo que se usa para resolver essa questão quando a curva de equilíbrio for conhecida; dou também a forma simplificada quando a curva de equilíbrio é linear (caso usual de aproximação com um coeficiente de partição constante). No final digo exatamente o que falta e como você pode me passar para eu calcular os números concretos.

Passo 2

Definir variáveis e adotar uma base (truque prático para prova).
  • Escolhemos uma base conveniente: tomar F=1 (uma unidade qualquer de vazão de alimentação — kg/s, kg/h, mol/s — o método não muda). Isso simplifica os cálculos e os resultados podem ser escalados depois.
  • Com essa base, a vazão do solvente será
S = 1 \times \frac{S}{F} = 1 \times 1{,}565 = 1{,}565.
  • Notação das composições (padrão em extração líquida):
    • x_i = fração massica (ou molar, dependendo da base) de acetona na fase orgânica que sai do estágio i (ou que entra no estágio i+1, conforme convenção).
    • y_i = fração de acetona na fase aquosa que sai do estágio i.
  • Indexação típica (para coluna contracorrente com n estágios):
    • O solvente entra pelo estágio inferior com y_{n+1} (aqui y_{n+1}=0 porque água pura).
    • O extract (fase aquosa rica em acetona) sai no topo com y_1.
    • A alimentação orgânica entra no topo com x_0 = x_F = 0{,}5.
    • O raffinate orgânico sai no fundo com x_n = x_R (incógnita).
  • Vazões de fase: assumimos vazões de fase praticamente constantes (hipótese usual em exercícios): vazão da fase orgânica igual a F ao longo da coluna; vazão da fase aquosa igual a S ao longo da coluna. Assim as vazões de produto são numericamente R=F e E=S na nossa base.

Passo 3

Princípio das etapas de equilíbrio e balanços por estágio (a “receita” para resolver a coluna).
  • Em cada estágio, as duas fases saem em equilíbrio: a composição y_i da fase aquosa que sai do estágio i está em equilíbrio com a composição x_i da fase orgânica que sai do mesmo estágio. Isso é expresso pela curva de equilíbrio
y_i = f(x_i),
onde f é a função experimental (ou uma aproximação).
  • Balanço de soluto no estágio i (fluxos constantes):
F x_{i-1} + S y_{i+1} = F x_i + S y_i.
Reorganizando, usando y_i=f(x_i),
F x_{i-1} = F x_i + S\bigl(f(x_i) - y_{i+1}\bigr).
No caso em que y_{n+1}=0 (solvente puro entrando), a equação para o último estágio (i = n) fica simples:
F x_{n-1} = F x_n + S f(x_n).
  • A forma prática para cálculo em cascata (processo de “degrau a degrau”, muito usado em prova) é escrever a relação direta para subir na coluna (computar x_{i-1} a partir de x_i):
x_{i-1} = x_i + \frac{S}{F}\,f(x_i).
Isto vale porque F x_{i-1} = F x_i + S f(x_i) quando y_{i+1}=0 (aplicando ao último estágio e, por extensão, ao cálculo iterativo ao longo da coluna, usando sempre y_{i+1} apropriado).
  • Algoritmo geral para solução numérica (quando f conhecida):
    1. Escolher um palpite para x_n (concentração de acetona no raffinate).
    2. Para i = n até 1: calcular y_i = f(x_i) e depois x_{i-1} = x_i + \dfrac{S}{F}\,y_i.
    3. Ao final terá x_0 (resultado do topo). Ajustar o palpite inicial x_n até que x_0 coincida com x_F=0{,}5. Esse ajuste se faz por bissecção, Newton ou tentativa/erro. Quando coincidirem, as x_i e y_i obtidas são as composições reais do processo. Então y_1 é a composição do extract e x_n a do raffinate.
  • Relação total (equilíbrio do conjunto da coluna): colocando y_{n+1}=0 tem-se o balanço global do soluto
F x_F = F x_R + S y_1.
Dessa equação obtém-se sempre
y_1 = \frac{F}{S}\bigl(x_F - x_R\bigr).
Isto é útil para conferir consistência: depois de achar x_R (via iteração), y_1 vale essa expressão.

Passo 4

Caso especial útil na prova: equilíbrio linear y = K x (coeficiente de partição constante).
Muitos exercícios pedem ou permitem a aproximação de que a curva de equilíbrio é linear:
y = K x,
onde K é a constante de distribuição (razão da fração na fase aquosa pela fração na fase orgânica em equilíbrio). Se essa hipótese for válida, a iteração simplifica muito: a relação passo-a-passo fica
x_{i-1} = x_i + \frac{S}{F}\,K x_i = x_i\Bigl(1 + \frac{S}{F}K\Bigr).
Aplicando isso n vezes do fundo ao topo:
x_0 = x_n\Bigl(1 + \frac{S}{F}K\Bigr)^n.
Como x_0 = x_F, isolamos x_n = x_R:
x_R = x_F\Bigl(1 + \frac{S}{F}K\Bigr)^{-n}.
E, pela equação global,
y_1 = K x_R = K x_F\Bigl(1 + \frac{S}{F}K\Bigr)^{-n}.
Essas fórmulas permitem calcular explicitamente x_R e y_1 se você souber K, com F=1 e S=1{,}565 já fixos. As vazões de produto (na nossa base) serão R=F=1 e E=S=1{,}565. Se quiser as vazões reais em kg/h, multiplica-se tudo pela vazão real de alimentação.

Passo 5

Expressão para a “quantidade mínima de solvente” — interpretação e fórmula (caso linear).
Precisamos esclarecer o que o enunciado entende por “quantidade mínima de solvente”. Existem duas interpretações comuns:
  1. Minimal solvent to make x_R=0 (remoção completa): para que a concentração do soluto no raffinate caia exatamente a zero, em geral isso requer vazão de solvente infinitamente grande ou número de estágios infinito; na prática a remoção completa não é alcançável com número finito de estágios e solvente finito. Logo, para x_R=0 a resposta é que não existe um S finito que o garanta (ou seja, S_{\min}\to\infty se n finito), salvo hipóteses não realistas.
  2. Minimal solvent para alcançar uma especificação de saída x_R^{\text{(spec)}} com n estágios: neste caso há uma fórmula direta no caso y=Kx. Basta isolar \dfrac{S}{F} da expressão de x_R:
x_R^{\text{(spec)}} = x_F\Bigl(1 + \frac{S}{F}K\Bigr)^{-n}.
Isto dá
1 + \frac{S}{F}K = \left(\frac{x_F}{x_R^{\text{(spec)}}}\right)^{1/n},
e portanto
\frac{S}{F} = \frac{1}{K}\left[\left(\frac{x_F}{x_R^{\text{(spec)}}}\right)^{1/n} - 1\right].
Isto fornece a razão S/F mínima que permita, com exatamente n estágios de equilíbrio, atingir a especificação x_R^{\text{(spec)}}. Note que quanto mais exigente (menor x_R^{\text{(spec)}}) maior será S/F.

Passo 6

Resumo prático do procedimento para resolver o problema num exame (passo a passo que você aplica quando tiver a curva de equilíbrio ou K).
  1. Fixe a base F=1. Então S=1{,}565.
  2. Se o enunciado dá uma curva y=f(x) (tabela, equação ou gráfico), use o algoritmo iterativo do Passo 3:
    • Faça um chute para x_n.
    • Para i=n até 1: y_i=f(x_i), x_{i-1}=x_i + (S/F)\,y_i.
    • Ajuste x_n até que x_0 = x_F = 0{,}5.
    • Os x_i,y_i encontrados são as composições dos estágios; o raffinate final é x_R=x_n e o extract é y_1. As vazões são R=F e E=S (na nossa base).
  3. Se o enunciado dá um K (equilíbrio linear y=Kx), use as fórmulas do Passo 4 para obter diretamente: x_R = x_F\Bigl(1 + \frac{S}{F}K\Bigr)^{-n},\qquad y_1=K x_R.
  4. Para a quantidade mínima de solvente:
    • Se for pedir solvente mínimo para remoção completa: informe que é infinito com número finito de estágios (ou impossível na prática).
    • Se for pedir solvente mínimo para atingir uma especificação x_R^{\text{(spec)}}, use a fórmula do Passo 5, ou então faça o mesmo procedimento iterativo variando S até obter x_0=x_F (bissecção).

Passo 7

O que falta para eu dar números finais e o que você pode me mandar agora para eu calcular tudo direto.
Para dar os valores numéricos de x_R,\;y_1 e as vazões dos produtos (como o enunciado pede) falta exatamente a curva de equilíbrio entre acetona e clorofórmio em presença de água a 25^\circ\mathrm{C}. Isso pode ser fornecido de duas formas equivalentes:
  • Uma tabela (ou gráfico) de pontos de equilíbrio com pares \bigl(x,\,y\bigr) (fração de acetona na fase orgânica x e fração na fase aquosa y).
  • Ou uma equação/função de equilíbrio y=f(x).
  • Ou, no caso de aproximação aceitável, um valor do coeficiente de partição K (para usar y=Kx).
Se você me der:
  • o conjunto de pontos \{(x_j,y_j)\}, eu aplico interpolação linear entre pontos e executo a iteração de estágios para obter x_R e y_1.
  • ou apenas um K, eu uso a fórmula explícita do Passo 4 e retorno rapidamente números.
Quero te ajudar agora: se você tem a tabela/curva de equilíbrio do enunciado (ou pode tirar do livro/fonte do professor) cola aqui que eu faço toda a conta e te mostro passo a passo com números — como você pediu, mastigado e com explicação didática em cada passo.

Resposta

Não é possível calcular numericamente as vazões e composições pedidas nem a “quantidade mínima de solvente” porque o enunciado não forneceu a curva de equilíbrio (ou o coeficiente de partição K) entre acetona e clorofórmio nas fases orgânica e aquosa a 25^\circ\mathrm{C}.

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