A parte positiva do termo é a_n=\frac{e^{1/n}}{n}, que é definida para todo n\ge 1.
Perguntas implícitas que vou responder (pois o enunciado não diz explicitamente):
A série converge ou diverge?
Se converge, ela converge absolutamente ou apenas condicionalmente?
Vou responder isso passo a passo.
Passo 2
Identifico o que precisamos testar. Para séries alternadas do tipo \sum (-1)^{n-1}a_n (com a_n>0), o teste clássico é o teste de Leibniz (teste da série alternada): se (a_n) é monótona decrescente e \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série converge. Aqui definimos
a_n=\frac{e^{1/n}}{n}.
Vamos verificar as duas condições do teste de Leibniz: (i) \lim_{n\to\infty}a_n=0 e (ii) (a_n) é decrescente a partir de algum n.
Passo 3
Calculo o limite de a_n. Como \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 e a função exponencial é contínua, temos
Portanto a condição \lim_{n\to\infty}a_n=0 está satisfeita.
Passo 4
Agora mostro que (a_n) é decrescente (aqui uso um argumento contínuo: se a função f(x) é decrescente para x\ge1, então a_n=f(n) é decrescente em n). Considere a função
f(x)=\frac{e^{1/x}}{x},\qquad x>0.
Calculo a derivada usando regra do produto / cadeia. Seja u(x)=e^{1/x} e v(x)=1/x. Então u'(x)=e^{1/x}\cdot(-1/x^2) e v'(x)=-1/x^2. Assim
Para todo x>0 temos e^{1/x}>0, 1+x>0 e x^3>0, então f'(x)<0 para todo x>0. Em particular, f é estritamente decrescente em [1,\infty). Portanto a sequência a_n=f(n) é decrescente a partir de n=1.
Passo 5
Como (i) \lim_{n\to\infty}a_n=0 e (ii) a_n é decrescente, pelo teste de Leibniz a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
converge. Assim a série dada converge.
Passo 6
Agora verifico a convergência absoluta. A série de termos absolutos é
Pelo teste da comparação limite (limit comparison test), como \sum \frac{1}{n} diverge (série harmônica) e o limite acima é finito e positivo, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{1/n}}{n}
também diverge. Logo a série não converge absolutamente.
Passo 7
Juntando os resultados:
A série original converge (por Leibniz).
A soma dos valores absolutos diverge (pela comparação com a harmônica).
Portanto a série converge apenas condicionalmente — isto é, converge, mas não converge absolutamente.
Como observação útil para prova: o teste de Leibniz também dá um controle do erro ao truncar a série. Se S for a soma e S_N a soma parcial até n=N, então o resto R_N=S-S_N satisfaz a estimativa
|R_N|\le a_{N+1}=\frac{e^{1/(N+1)}}{N+1}.
Isto permite estimar com que N você aproxima a soma com precisão desejada.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).