Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral de
d yd x+2 x y=x^3 e^-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
dydx + 2x y = x^3 e^-x^2
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Basicamente, esse método ajuda a transformar a equação original em uma forma que a gente consegue integrar e encontrar a solução geral para $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão de uma equação linear:
dydx + P(x) y = Q(x)
Aqui, temos:
  • $ P(x) = 2x $
  • $ Q(x) = x^{3} e{-x{2}} $
Isso nos ajuda a organizar o que precisamos fazer a seguir para aplicar o método do fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Ele é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = 2x $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e{x{2}} $:
mu(x) = e^x^2
Simplificando o lado direito:
e^x^2 dydx + e^x^2 cdot 2x y = e^x^2 cdot x^3 e^-x^2
Então, a equação fica:
e^x^2 cdot x^3 e^-x^2 = x^3

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $. Ou seja:
mu(x) y
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso acontecesse, facilitando a integração.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo simplifica para:
integral ddx ( e^x^2 y ) dx = integral x^3 dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ e{x{2}} $:
y
Podemos também escrever de forma mais limpa:
e^x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^44 e^-x^2 + C e^-x^2
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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