Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Basicamente, esse método ajuda a transformar a equação original em uma forma que a gente consegue integrar e encontrar a solução geral para $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, temos:
- $ P(x) = 2x $
- $ Q(x) = x^{3} e{-x{2}} $
Isso nos ajuda a organizar o que precisamos fazer a seguir para aplicar o método do fator integrante.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $. Ele é dado por:
Substituindo $ P(x) = 2x $:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = e{x{2}} $:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $. Ou seja:
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso acontecesse, facilitando a integração.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para $ y $ dividindo ambos os lados por $ e{x{2}} $:
Podemos também escrever de forma mais limpa:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.