(EUF 2020.2 - MC6A) Uma partícula de massa m se movimenta em três dimensões sob ação de uma força F ® cuja energia potencial associada é U(x)=-k / 4 r^4, onde k é uma constante positiva e r é a distância até a origem do sistema de coordenadas. Analise as três afirmações abaixo sobre o sistema e escolha a alternativa correta: (I) nabla times F=0 e omegac=raiz2 k / m R^6; (II) Para uma órbita circular de raio R , a frequência angular do movimento da partícula é: ; (III) A energia total da partícula e o momento angular da partícula são constantes de movimento.
(a) Apenas a afirmação III está correta. (b) Apenas a afirmação I está correta. © Apenas a afirmação II está correta. (d) Apenas a afirmação I e II estão corretas. (e) Apenas a afirmação II e III estão corretas.

Passo 1

Beleza, vamos resumir: temos uma partícula de massa U(r) = -,k4,r^4, que se movimenta sob o potencial
com . A matéria aqui é Mecânica Clássica (forças centrais e conservação), e pra resolver precisamos:
  1. Calcular .
  2. Verificar se .
  3. Para órbita circular, usar força centrípeta .
  4. Checar conservação de energia e momento angular.

Passo 2

Análise da afirmação I:
(I) diz que
F = -nabla U = -dUdr,hat r = -ddrl(-k4,r^4r)hat r = -l(kr^5r)hat r e .
Vamos calcular :
Ou seja, o módulo de é , não .
Por outro lado, sendo derivada de um potencial escalar, sempre vale .
Logo a parte do curl está certa, mas o valor de está errado.
Conclusão: a afirmação I é falsa.

Passo 3

Análise da afirmação II:
(II) para órbita circular de raio m v^2R = kR^5 Longrightarrow v^2 = km,R^4 afirma
omegac = raizk/(m,R^4)R = raizkm,R^6 .
Numa órbita circular a força centrípeta é
A frequência angular é , então
Não aparece o fator 2. Logo a afirmação II também é falsa.

Passo 4

Análise da afirmação III:
(III) diz que a energia total e o momento angular são constantes de movimento.
Em força central derivada de um potencial não dependente de tempo,
– a energia total é sempre conservada;
– o momento angular é conservado porque não há torque externo.
Então a afirmação III é verdadeira.

Resposta

Apenas a afirmação III está correta.

Exercícios relacionados