(EUF 2020.2 - MC6A) Uma partícula de massa m se movimenta em três dimensões sob ação de uma força
® cuja energia potencial associada é
, onde k é uma constante positiva e r é a distância até a origem do sistema de coordenadas. Analise as três afirmações abaixo sobre o sistema e escolha a alternativa correta: (I)
e
; (II) Para uma órbita circular de raio R , a frequência angular do movimento da partícula é:
; (III) A energia total da partícula e o momento angular da partícula são constantes de movimento.
(a) Apenas a afirmação III está correta. (b) Apenas a afirmação I está correta. © Apenas a afirmação II está correta. (d) Apenas a afirmação I e II estão corretas. (e) Apenas a afirmação II e III estão corretas.
(a) Apenas a afirmação III está correta. (b) Apenas a afirmação I está correta. © Apenas a afirmação II está correta. (d) Apenas a afirmação I e II estão corretas. (e) Apenas a afirmação II e III estão corretas.
Passo 1
Beleza, vamos resumir: temos uma partícula de massa
que se movimenta sob o potencial
com
. A matéria aqui é Mecânica Clássica (forças centrais e conservação), e pra resolver precisamos:
- Calcular
. - Verificar se
. - Para órbita circular, usar força centrípeta
. - Checar conservação de energia e momento angular.
Passo 2
Análise da afirmação I:
(I) diz que
e
.
Vamos calcular :
(I) diz que
Vamos calcular
Ou seja, o módulo de
é
, não
.
Por outro lado, sendo derivada de um potencial escalar, sempre vale .
Logo a parte do curl está certa, mas o valor de está errado.
Conclusão: a afirmação I é falsa.
Por outro lado, sendo derivada de um potencial escalar, sempre vale
Logo a parte do curl está certa, mas o valor de
Conclusão: a afirmação I é falsa.
Passo 3
Análise da afirmação II:
(II) para órbita circular de raio afirma
.
Numa órbita circular a força centrípeta é
(II) para órbita circular de raio
Numa órbita circular a força centrípeta é
A frequência angular é
, então
Não aparece o fator 2. Logo a afirmação II também é falsa.
Passo 4
Análise da afirmação III:
(III) diz que a energia total e o momento angular são constantes de movimento.
Em força central derivada de um potencial não dependente de tempo,
– a energia total é sempre conservada;
– o momento angular é conservado porque não há torque externo.
Então a afirmação III é verdadeira.
(III) diz que a energia total e o momento angular são constantes de movimento.
Em força central derivada de um potencial não dependente de tempo,
– a energia total é sempre conservada;
– o momento angular é conservado porque não há torque externo.
Então a afirmação III é verdadeira.
Resposta
Apenas a afirmação III está correta.