(EUF 2020.2 - MC7A) Uma partícula de massa m se movimenta em uma dimensão sob ação das forças
, onde ke b são constantes positivas exevsão a posição e velocidade da partícula respectivamente. Considere que no instante inicial a partícula está em repouso na posição
e que
descreve a posição da partícula em função do tempo. Analise as afirmações abaixo e escolha a alternativa correta: (I) Para
, o movimento da partícula está restrito a
; (II) Para
, a energia total da partícula é uma constante do movimento; (III) Para
, o movimento da partícula está restrito a
. (a) Apenas a afirmação II e III estão corretas. (b) Apenas a afirmação I está correta. © Apenas a afirmação II está correta. (d) Apenas a afirmação III está correta. (e) Apenas a afirmação I e II estão corretas.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que uma partícula de massa
se move em 1D sujeita a duas forças:
-
(força elástica) -
(força de atrito viscoso)
Começamos identificando que isso é um oscilador harmônico com amortecimento. Para resolver, vamos:
- Montar a equação de movimento
. - Ver que tem a forma
. - Classificar o amortecimento (subamortecido, crítico, sobreamortecido) comparando
com . - Analisar cada afirmação (I, II, III) com esses conceitos.
Passo 2
Derivando a equação de movimento:
Dividindo por
:
Aqui:
-
é a frequência natural. - O termo
é o coeficiente de amortecimento.
A teoria de amortecimento diz:
- Se
: subamortecido (oscilações com amplitude decrescente). - Se
: criticamente amortecido (retorno rápido sem oscilar). - Se
: sobreamortecido (retorno lento sem oscilar).
Passo 3
Analisando a afirmação I:
“Para , o movimento fica restrito a
.”
“Para
Como
estamos em subamortecido. Nesse caso o sistema oscila (cruza
várias vezes) com amplitude decrescente.
Logo I é falsa.
Logo I é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação II:
“Para , a energia total é constante.”
“Para
Se não há atrito (
), a equação vira
que é o oscilador harmônico simples. Nesse caso não há dissipação e a energia
fica de fato constante.
Então II é verdadeira.
Então II é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação III:
“Para , o movimento fica restrito a
.”
“Para
Aqui
é sobreamortecido. Nesse regime não há oscilações:
decai monotonicamente de
para 0, sem cruzar.
Logo vale, e III é verdadeira.
Logo
Resposta
Apenas as afirmações II e III estão corretas (alternativa a).