(EUF 2020.2 - MC7A) Uma partícula de massa m se movimenta em uma dimensão sob ação das forças F1=-kx e F2=-2 mbv, onde ke b são constantes positivas exevsão a posição e velocidade da partícula respectivamente. Considere que no instante inicial a partícula está em repouso na posição x0>0 e que x(t) descreve a posição da partícula em função do tempo. Analise as afirmações abaixo e escolha a alternativa correta: (I) Para b=raizk / 2 m, o movimento da partícula está restrito a 0 <= x(t) <= x0; (II) Para b=0, a energia total da partícula é uma constante do movimento; (III) Para b=raiz2 k / m, o movimento da partícula está restrito a 0 <= x(t) <= x0. (a) Apenas a afirmação II e III estão corretas. (b) Apenas a afirmação I está correta. © Apenas a afirmação II está correta. (d) Apenas a afirmação III está correta. (e) Apenas a afirmação I e II estão corretas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma partícula de massa se move em 1D sujeita a duas forças:
  • (força elástica)
  • (força de atrito viscoso)
Começamos identificando que isso é um oscilador harmônico com amortecimento. Para resolver, vamos:
  1. Montar a equação de movimento .
  2. Ver que tem a forma .
  3. Classificar o amortecimento (subamortecido, crítico, sobreamortecido) comparando com .
  4. Analisar cada afirmação (I, II, III) com esses conceitos.

Passo 2

Derivando a equação de movimento:
m,x'' = -k,x - 2,m,b,x'
Dividindo por boxedx'' + 2,b,x' + km,x = 0:
Aqui:
  • é a frequência natural.
  • O termo é o coeficiente de amortecimento.
A teoria de amortecimento diz:
  • Se : subamortecido (oscilações com amplitude decrescente).
  • Se : criticamente amortecido (retorno rápido sem oscilar).
  • Se : sobreamortecido (retorno lento sem oscilar).

Passo 3

Analisando a afirmação I:
“Para raiztfrack2m = omega0raiz2 < omega0,, o movimento fica restrito a .”
Como
estamos em subamortecido. Nesse caso o sistema oscila (cruza várias vezes) com amplitude decrescente.
Logo I é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação II:
“Para x'' + km,x = 0,, a energia total é constante.”
Se não há atrito ( E = 12 m,v^2 + 12 k,x^2), a equação vira
que é o oscilador harmônico simples. Nesse caso não há dissipação e a energia
fica de fato constante.
Então II é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação III:
“Para raiztfrac2km = raiz2,omega0 > omega0,, o movimento fica restrito a .”
Aqui
é sobreamortecido. Nesse regime não há oscilações: decai monotonicamente de para 0, sem cruzar.
Logo vale, e III é verdadeira.

Resposta

Apenas as afirmações II e III estão corretas (alternativa a).

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