(EUF 2020.2 - MC5A) Uma partícula de massa m se movimenta em uma dimensão sob ação de uma força cuja energia potencial associada é dada por: U0, onde a e r0 são constantes positivas. Calcule (a) o ponto de equilíbrio estável U(x) do potencial omega e (b) a correspondente frequência angular de pequenas oscilações x=a e omega=raiz2 U0 / m a^2 da partícula em torno da posição e equilíbrio. Resposta: .

Passo 1

Beleza, então temos uma partícula de massa U(x)=U0l(xa+axr), que se move sobre o eixo sujeita a um potencial
com e . O que a questão pede é:
a) A posição de equilíbrio estável .
b) A frequência angular das pequenas oscilações ao redor desse ponto.
O que vamos usar:
  • Para (a), a condição de equilíbrio é que a força resultante seja zero, ou seja, .
  • Para (b), no caso de pequenas oscilações, aproximamos o potencial por uma expansão de Taylor até a segunda ordem em e lembramos que isso equivale a um oscilador harmônico com constante elástica . A frequência então é .

Passo 2

Vamos achar dUdx=0 tal que
U(x)=U0l(tfracxa+tfracaxr)
Primeiro, derive
dUdx =U0l(tfrac1a-tfracax^2r)
  • A derivada de U0l(tfrac1a-tfracax^2r)=0 Longrightarrow tfrac1a=tfracax^2 Longrightarrow x^2=a^2 Longrightarrow x=pm a em relação a x0 = a é .
  • A derivada de é .
Logo
Igualando a zero:
Como é posição (e normalmente consideramos aqui), o ponto de equilíbrio estável é

Passo 3

Agora precisamos checar que é estável e achar a frequência de pequenas oscilações.
  1. Para estabilidade, basta ver que omega = raizU''(x0)m .
  2. Para pequenas oscilações, usamos
dUdx=U0l(tfrac1a-tfracax^2r) Longrightarrow d^2Udx^2 =U0l(0 - l(-2,tfracax^3r)r) =U0cdot2ax^3
Calculemos U''(a)=U0cdot2aa^3 =2U0a^2 :
omega = raizU''(a)m = raiz2U0/a^2m = raiz2U0m,a^2
Então em :
Esse valor é positivo, confirmando estabilidade.
Logo a frequência é

Resposta

Posição de equilíbrio: .
Frequência angular das pequenas oscilações: .

Exercícios relacionados