(EUF 2020.2 - MC5A) Uma partícula de massa m se movimenta em uma dimensão sob ação de uma força cuja energia potencial associada é dada por:
, onde
e
são constantes positivas. Calcule (a) o ponto de equilíbrio estável
do potencial
e (b) a correspondente frequência angular de pequenas oscilações
da partícula em torno da posição e equilíbrio. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, então temos uma partícula de massa
que se move sobre o eixo
sujeita a um potencial
com
e
. O que a questão pede é:
a) A posição de equilíbrio estável .
b) A frequência angular das pequenas oscilações ao redor desse ponto.
a) A posição de equilíbrio estável
b) A frequência angular
O que vamos usar:
- Para (a), a condição de equilíbrio é que a força resultante seja zero, ou seja,
. - Para (b), no caso de pequenas oscilações, aproximamos o potencial por uma expansão de Taylor até a segunda ordem em
e lembramos que isso equivale a um oscilador harmônico com constante elástica . A frequência então é .
Passo 2
Vamos achar
tal que
Primeiro, derive
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é .
Logo
Igualando a zero:
Como
é posição (e normalmente consideramos
aqui), o ponto de equilíbrio estável é
Passo 3
Agora precisamos checar que é estável e achar a frequência de pequenas oscilações.
- Para estabilidade, basta ver que
. - Para pequenas oscilações, usamos
Calculemos
:
Então em
:
Esse valor é positivo, confirmando estabilidade.
Logo a frequência é
Resposta
Posição de equilíbrio:
.
Frequência angular das pequenas oscilações: .
Frequência angular das pequenas oscilações: