Usando o rotacional em coordenadas esféricas, mostre que o campo de força é conservativo.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Usando o rotacional em coordenadas esféricas, mostre que o campo de força
é conservativo.”
Isso é cálculo vetorial – mais especificamente, usamos a definição de campo conservativo: um campo é conservativo se e só se o seu rotacional (curl) for zero. Para fazer isso, vamos precisar da fórmula do rotacional em coordenadas esféricas e de algumas noções de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, o que significa “campo conservativo”?
– Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que .
– Uma condição equivalente (desde que o domínio seja simplesmente conexo, aqui ) é
Então nosso objetivo é mostrar que .
Passo 3
Em coordenadas esféricas , um vetor geral tem componentes . O rotacional fica: