Usando o rotacional em coordenadas esféricas, mostre que o campo de força é conservativo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Usando o rotacional em coordenadas esféricas, mostre que o campo de força
F = -kr^2, er
é conservativo.”
Isso é cálculo vetorial – mais especificamente, usamos a definição de campo conservativo: um campo é conservativo se e só se o seu rotacional (curl) for zero. Para fazer isso, vamos precisar da fórmula do rotacional em coordenadas esféricas e de algumas noções de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, o que significa “campo conservativo”?
– Um campo vetorial nabla times F = 0 é conservativo se existir uma função escalar tal que .
– Uma condição equivalente (desde que o domínio seja simplesmente conexo, aqui ) é
Então nosso objetivo é mostrar que .

Passo 3

Em coordenadas esféricas (nablatimes A)r =1rsinthetal[partialpartialtheta(Avarphisintheta) -partial Athetapartialvarphir],[6pt] (nablatimes A)theta =1rl[1sinthetapartial Arpartialvarphi -partialpartial r(r Avarphi)r],[6pt] (nablatimes A)varphi =1rl[partialpartial r(r Atheta) -partial Arpartialthetar] , um vetor geral Ar = -kr^2, Atheta=0, Avarphi=0 tem componentes . O rotacional fica:
No nosso caso,

Passo 4

Agora, calcula cada componente do rotacional:
  1. Componente (nablatimes F)r =1rsinthetal[partialpartialtheta(0cdotsintheta) -partialpartialvarphi(0)r] =0 :
(nablatimes F)theta =1rl[1sinthetapartialpartialvarphil(-tfrackr^2r) -partialpartial r(rcdot 0)r] =1rl[0 - 0r] =0,
  1. Componente (nablatimes F)varphi =1rl[partialpartial r(rcdot0) -partialpartialthetal(-tfrackr^2r)r] =1rl[0 - 0r] =0, :
nablatimes F = 0
porque não depende de .
  1. Componente :
já que também não depende de .
Como todos os três componentes dão zero,

Resposta

O rotacional de em coordenadas esféricas é identicamente zero, logo é um campo conservativo.

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