(EUF 2023.1 - MC2B) No experimento de Millikan gotas minúsculas de óleo em um tubo com ar são aceleradas através de um campo elétrico. Um estudante aplica um campo elétrico de módulo constante |E|, e observa a gota subir. Das forças que atuam sobre a gota, a força elétrica a puxa para cima, enquanto seu peso e a força de resistência do fluido, esta última proporcional à sua velocidade, se opõem ao movimento, o que é descrito pela força resultante: Fr=qE-mg-2 bv. Despreza-se o empuxo do ar sobre a gota de óleo no tubo. Aqui q é a carga elétrica positiva da gota, m é a massa da gota, g é a aceleração da gravidade e b uma constante positiva. Supondo a gota em repouso no instante t=0, qual é a velocidade da gota em função do tempo? Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Tem uma gotinha de óleo sujeita a três forças:
  1. Força elétrica para cima: Fr ;=; qE ;-; mg ;-;2b,v
  2. Peso para baixo:
  3. Resistência do ar (viscosa) para baixo:
    O enunciado dá a força resultante:
E como , precisamos achar a velocidade , sabendo que em a gota parte do repouso ( ).
Conteúdo: equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrever a equação de movimento:
m,dvdt ;=; qE ;-; mg ;-;2b,v
Isso é uma EDO (equação diferencial ordinária) de ordem 1 em .

Passo 3

Colocar em “forma padrão” para EDOs lineares:
dvdt + 2bm,v ;=;qE - mgm
Aqui a gente isolou dvdt + P(t),v = Q(t), e dividiu tudo por . Agora está no formato
com e , que são constantes nesse caso.

Passo 4

Calcular o fator integrante mu(t) = e^integral 2bm,dt = e^2bm,t , que é . Como é constante:
Multiplicamos toda a equação por para escrever o lado esquerdo como derivada de um produto.

Passo 5

Multiplicando:
e^2bmt,dvdt ;+; 2bm,e^2bmt,v ;=; qE-mgm,e^2bmt
O lado esquerdo vira ddtl(v,e^2bmtr) ;=; qE-mgm;e^2bmt . Então:
v,e^2bmt =qE-mgm,integral e^2bmt,dt + C
Agora integramos ambos os lados em :
E .

Passo 6

Substituindo essa integral:
v,e^2bmt =qE-mgmcdotm2b,e^2bmt + C =qE-mg2b,e^2bmt + C
Agora aplicamos a condição inicial 0 cdot e^0 = qE-mg2b,e^0 + C Rightarrow C = -qE-mg2b :

Passo 7

Isolando v(t),e^2bmt =qE-mg2b,e^2bmt -qE-mg2b Rightarrow v(t) =qE-mg2b l(1 - e^-2bmtr) :

Resposta

boxedv(t)=(qE - mg)2b,l(1 - e^-tfrac2bmtr)

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