(EUF 2023.1 - MC2B) No experimento de Millikan gotas minúsculas de óleo em um tubo com ar são aceleradas através de um campo elétrico. Um estudante aplica um campo elétrico de módulo constante
, e observa a gota subir. Das forças que atuam sobre a gota, a força elétrica a puxa para cima, enquanto seu peso e a força de resistência do fluido, esta última proporcional à sua velocidade, se opõem ao movimento, o que é descrito pela força resultante:
. Despreza-se o empuxo do ar sobre a gota de óleo no tubo. Aqui q é a carga elétrica positiva da gota,
é a massa da gota,
é a aceleração da gravidade e
uma constante positiva. Supondo a gota em repouso no instante
, qual é a velocidade da gota em função do tempo? Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Tem uma gotinha de óleo sujeita a três forças:
- Força elétrica para cima:
- Peso para baixo:
- Resistência do ar (viscosa) para baixo:
O enunciado dá a força resultante:
E como
, precisamos achar a velocidade
, sabendo que em
a gota parte do repouso (
).
Conteúdo: equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.
Conteúdo: equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Escrever a equação de movimento:
Isso é uma EDO (equação diferencial ordinária) de ordem 1 em
.
Passo 3
Colocar em “forma padrão” para EDOs lineares:
Aqui a gente isolou
e dividiu tudo por
. Agora está no formato
com
e
, que são constantes nesse caso.
Passo 4
Calcular o fator integrante
, que é
. Como
é constante:
Multiplicamos toda a equação por
para escrever o lado esquerdo como derivada de um produto.
Passo 5
Multiplicando:
O lado esquerdo vira
. Então:
Agora integramos ambos os lados em
:
E
.
Passo 6
Substituindo essa integral:
Agora aplicamos a condição inicial
:
Passo 7
Isolando
: