(EUF 2023.2-MC2A) Um sistema composto por uma massa m acoplado à três molas ideais de constantes elásticas
e
. A massa pode oscilar longitudinalmente à direção das molas em torno de seu ponto de equilíbrio sobre uma superfície de atrito desprezível. Determine a frequência angular de oscilação da massa. Assuma que no equilíbrio as molas estão relaxadas. Resposta:
.
Passo 1
Tranquilo, vou resumir o que a questão pede e falar o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: “Temos uma massa m presa a três molas ideais (constantes ,
e
), todas relaxadas no ponto de equilíbrio, e sem atrito. A massa pode oscilar só na direção das molas. Precisamos achar a frequência angular de oscilação.”
Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS) e leis de Newton.
O que vamos usar:
Enunciado resumido: “Temos uma massa m presa a três molas ideais (constantes
Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS) e leis de Newton.
O que vamos usar:
- A ideia de que três molas em paralelo equivalem a uma mola única de constante igual à soma das constantes.
- A equação de Newton
. - A forma padrão da equação de MHS:
.
Passo 2
Entendendo molas em paralelo
Quando várias molas estão “lado a lado” puxando a mesma massa, a força resultante é a soma das forças de cada mola. Cada mola dá uma força restauradora . Se tiver
,
e
em paralelo, a força total é
Quando várias molas estão “lado a lado” puxando a mesma massa, a força resultante é a soma das forças de cada mola. Cada mola dá uma força restauradora
Isso é igual a ter uma mola só com constante elástica
Passo 3
Montando a equação de movimento
Pela segunda lei de Newton, força resultante é . Como a força restauradora é
, temos
Pela segunda lei de Newton, força resultante é
Reescrevendo,
que é exatamente a equação do MHS (movimento harmônico simples).
Passo 4
Identificando a frequência angular
Para MHS a equação padrão tem solução oscilatória com frequência angular
Para MHS a equação padrão
Aqui
. Então basta substituir: