Evaluate (b) \operatorname{cosh} ^{-1}\{\operatorname{coth}(\ln 3)\}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a expressão
\operatorname{cosh}^{-1}\{\operatorname{coth}(\ln 3)\}.
Informações e dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • A expressão interna é \operatorname{coth}(\ln 3).
  • A função externa é a inversa da cosseno hiperbólico, escrita como \operatorname{cosh}^{-1}(\cdot).
  • Não há outras informações numéricas além de \ln 3.

Passo 2

Vamos recordar definições e fórmulas que vamos usar (o objetivo aqui é explicar cada peça para você poder aplicar em prova):
  • Definição de \operatorname{coth}: para qualquer u real,
\operatorname{coth}u=\frac{\operatorname{cosh} u}{\operatorname{sinh} u}.
Usando exponenciais isso fica mais prático:
\operatorname{coth}u=\frac{e^{u}+e^{-u}}{e^{u}-e^{-u}}=\frac{e^{2u}+1}{e^{2u}-1}.
Nessa forma fica fácil substituir u=\ln 3 porque e^{\ln 3}=3.
  • Fórmula para a inversa do cosseno hiperbólico (valor principal, válida para x\ge1):
\operatorname{cosh}^{-1}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right).
Aqui é importante saber que \operatorname{cosh}^{-1}x exige x\ge1, então antes de aplicar a fórmula vamos verificar que \operatorname{coth}(\ln 3)\ge1.

Passo 3

Calcular \operatorname{coth}(\ln 3) usando a forma exponencial. Tome u=\ln 3. Então e^{u}=3 e e^{2u}=9. Aplicando a fórmula:
\operatorname{coth}(\ln 3)=\frac{e^{2\ln 3}+1}{e^{2\ln 3}-1}=\frac{9+1}{9-1}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}.
Portanto \operatorname{coth}(\ln 3)=\dfrac{5}{4}, que é maior que 1, logo podemos usar a fórmula da \operatorname{cosh}^{-1}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da inversa hiperbólica para x=\dfrac{5}{4}:
\operatorname{cosh}^{-1}\!\left(\frac{5}{4}\right)=\ln\!\left(\frac{5}{4}+\sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-1}\right).
Calcule o discriminante dentro da raiz:
\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-1=\frac{25}{16}-\frac{16}{16}=\frac{9}{16},
então
\sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}.

Passo 5

Substituindo de volta:
\operatorname{cosh}^{-1}\!\left(\frac{5}{4}\right)=\ln\!\left(\frac{5}{4}+\frac{3}{4}\right)=\ln\!\left(\frac{8}{4}\right)=\ln 2.

Passo 6

(Verificação alternativa, rápida e útil na prova) Podemos conferir que \operatorname{cosh}(\ln 2)=\dfrac{e^{\ln 2}+e^{-\ln 2}}{2}=\dfrac{2+\tfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{5}{4}. Como \operatorname{cosh}(\ln 2)=5/4, segue que \operatorname{cosh}^{-1}(5/4)=\ln 2, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\ln 2

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