If
, evaluate
(a)
(b)
(c)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos fornece a função
e pede os seguintes limites:
(a) ,
(b) ,
(c) ,
(c) ,
(d) .
(a)
(b)
(c)
(c)
(d)
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A função contém o valor absoluto
. - A função pode ter comportamento diferente para
e . - É preciso verificar também se o denominador pode anular-se (pontos onde a função pode não estar definida).
Passo 2
Relembrando o que é
e como usá-lo na prática (isso é essencial aqui):
- Por definição,
se . - Por definição,
se .
Vamos escrever
em forma piecewise (por pedaços), usando essas definições. Sempre que eu simplificar cancelando um fator
, vou lembrar que isso só é válido para
.
Primeiro caso:
. Então
e
Agora cancelamos
(válido porque
implica
):
Segundo caso:
. Então
e
Cancelando
(aqui
porque
):
Observação sobre
: substituindo
na expressão original dá
, portanto
não está definida. A função tem, portanto, duas expressões constantes diferentes de cada lado de
: vale
à direita e
à esquerda.
Passo 3
Cálculo do limite quando
.
Para
suficientemente grande (positivo), estamos no ramo
, onde
exatamente. A propriedade básica de limites diz que o limite de uma função constante é essa constante. Portanto
Intuição rápida: para qualquer sequência
com
, todos os
, então os valores tendem para
.
Passo 4
Cálculo do limite quando
.
Para
muito negativo estamos no ramo
, onde
exatamente. Assim, pelo mesmo raciocínio,
Passo 5
Cálculo do limite lateral pela direita em
:
.
Se
aproxima
pela direita, então
(mas pequeno) e usamos o ramo
. Logo
Isso também mostra que à direita de
a função é constante e contínua (até, mas não incluindo, o próprio
).
Passo 6
Cálculo do limite lateral pela esquerda em
:
.
Se
aproxima
pela esquerda, então
(pequeno em módulo) e usamos o ramo
. Portanto
Passo 7
Cálculo do limite bilateral em
:
.
Para que exista
é necessário que os limites laterais pela direita e pela esquerda coincidam. Aqui encontramos
que são diferentes. Portanto o limite bilateral não existe:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(c)
não existe
(d)