If f(x)=\frac{3 x+|x|}{7 x-5|x|}, evaluate
(a) \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \quad
(b) \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow 0+} f(x)
(c) \lim _{x \rightarrow 0} f(x)
(d) \lim _{x \rightarrow 0-} f(x)

Passo 1

O enunciado nos fornece a função
f(x)=\frac{3x+|x|}{7x-5|x|}
e pede os seguintes limites:
(a) \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x),
(b) \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x),
(c) \displaystyle\lim_{x\to 0+} f(x),
(c) \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x),
(d) \displaystyle\lim_{x\to 0-} f(x).
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A função contém o valor absoluto |x|.
  • A função pode ter comportamento diferente para x>0 e x<0.
  • É preciso verificar também se o denominador pode anular-se (pontos onde a função pode não estar definida).

Passo 2

Relembrando o que é |x| e como usá-lo na prática (isso é essencial aqui):
  • Por definição, |x|=x se x\ge 0.
  • Por definição, |x|=-x se x<0.
Vamos escrever f(x) em forma piecewise (por pedaços), usando essas definições. Sempre que eu simplificar cancelando um fator x, vou lembrar que isso só é válido para x\neq 0.
Primeiro caso: x>0. Então |x|=x e
f(x)=\frac{3x+|x|}{7x-5|x|}=\frac{3x+x}{7x-5x}=\frac{4x}{2x}.
Agora cancelamos x (válido porque x>0 implica x\neq 0):
f(x)=2\quad\text{para }x>0.
Segundo caso: x<0. Então |x|=-x e
f(x)=\frac{3x+|x|}{7x-5|x|}=\frac{3x+(-x)}{7x-5(-x)}=\frac{2x}{7x+5x}=\frac{2x}{12x}.
Cancelando x (aqui x\neq 0 porque x<0):
f(x)=\frac{1}{6}\quad\text{para }x<0.
Observação sobre x=0: substituindo x=0 na expressão original dá 0/0, portanto f(0) não está definida. A função tem, portanto, duas expressões constantes diferentes de cada lado de 0: vale 2 à direita e \tfrac{1}{6} à esquerda.

Passo 3

Cálculo do limite quando x\to\infty.
Para x suficientemente grande (positivo), estamos no ramo x>0, onde f(x)=2 exatamente. A propriedade básica de limites diz que o limite de uma função constante é essa constante. Portanto
\lim_{x\to\infty} f(x)=2.
Intuição rápida: para qualquer sequência x_n\to\infty com x_n>0, todos os f(x_n)=2, então os valores tendem para 2.

Passo 4

Cálculo do limite quando x\to -\infty.
Para x muito negativo estamos no ramo x<0, onde f(x)=\tfrac{1}{6} exatamente. Assim, pelo mesmo raciocínio,
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\frac{1}{6}.

Passo 5

Cálculo do limite lateral pela direita em 0: \displaystyle\lim_{x\to 0+} f(x).
Se x aproxima 0 pela direita, então x>0 (mas pequeno) e usamos o ramo f(x)=2. Logo
\lim_{x\to 0+} f(x)=2.
Isso também mostra que à direita de 0 a função é constante e contínua (até, mas não incluindo, o próprio 0).

Passo 6

Cálculo do limite lateral pela esquerda em 0: \displaystyle\lim_{x\to 0-} f(x).
Se x aproxima 0 pela esquerda, então x<0 (pequeno em módulo) e usamos o ramo f(x)=\tfrac{1}{6}. Portanto
\lim_{x\to 0-} f(x)=\frac{1}{6}.

Passo 7

Cálculo do limite bilateral em 0: \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x).
Para que exista \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) é necessário que os limites laterais pela direita e pela esquerda coincidam. Aqui encontramos
\lim_{x\to 0+} f(x)=2\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0-} f(x)=\frac{1}{6},
que são diferentes. Portanto o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to 0} f(x)\\ \text{não existe}.ã

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=2
(b) \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=\dfrac{1}{6}
(c) \displaystyle\lim_{x\to 0+} f(x)=2
(c) \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) não existe
(d) \displaystyle\lim_{x\to 0-} f(x)=\dfrac{1}{6}

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