Whenever the control points \mathbf{b}_{0}, \mathbf{b}_{1}, \mathbf{b}_{2}, and \mathbf{b}_{3} of a cubic Bézier curve are collinear, the curve is a straight line. In particular, let \mathbf{b}_{1}=\left(2 \mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{3}\right) / 3, and \mathbf{b}_{2}=\left(\mathbf{b}_{0}+2 \mathbf{b}_{3}\right) / 3. Show that the cubic Bézier curve simplifies to the linear Bézier curve (1-t) \mathbf{b}_{0}+t \mathbf{b}_{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá as quatro informações seguintes:
  • Existem pontos de controle \mathbf{b}_{0},\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3}.
  • Foi especificado que
\mathbf{b}_{1}=\frac{2\mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{3}}{3}, \qquad \mathbf{b}_{2}=\frac{\mathbf{b}_{0}+2\mathbf{b}_{3}}{3}.
  • A curva Bézier cúbica associada a esses pontos é dada por
\mathbf{B}(t)=(1-t)^{3}\mathbf{b}_{0}+3(1-t)^{2}t\,\mathbf{b}_{1}+3(1-t)t^{2}\,\mathbf{b}_{2}+t^{3}\mathbf{b}_{3},
para 0\le t\le1.
  • O objetivo pedido: mostrar que essa \mathbf{B}(t) simplifica para a curva linear entre \mathbf{b}_{0} e \mathbf{b}_{3}, isto é, que os coeficientes frontais ficam justamente 1-t e t.

Passo 2

Pequeno lembrete sobre os coeficientes: os polinômios (1-t)^{3}, 3(1-t)^{2}t, 3(1-t)t^{2} e t^{3} são as funções base de Bernstein de grau 3. Eles satisfazem a propriedade de soma unitária:
(1-t)^{3}+3(1-t)^{2}t+3(1-t)t^{2}+t^{3}=1.
Isso significa que \mathbf{B}(t) é uma combinação afim (de fato convexa para t\in[0,1]) dos pontos de controle. Aqui vamos substituir \mathbf{b}_{1} e \mathbf{b}_{2} nas posições dadas e simplificar algebricamente.

Passo 3

Substituindo \mathbf{b}_{1} e \mathbf{b}_{2} na expressão de \mathbf{B}(t) obtemos
\mathbf{B}(t)=(1-t)^{3}\mathbf{b}_{0}+3(1-t)^{2}t\left(\frac{2\mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{3}}{3}\right) +3(1-t)t^{2}\left(\frac{\mathbf{b}_{0}+2\mathbf{b}_{3}}{3}\right)+t^{3}\mathbf{b}_{3}.
As constantes 3 do numerador e denominador das duas parcelas do meio se cancelam, portanto
\mathbf{B}(t)=(1-t)^{3}\mathbf{b}_{0}+(1-t)^{2}t\,(2\mathbf{b}_{0}+\mathbf{b}_{3}) +(1-t)t^{2}\,(\mathbf{b}_{0}+2\mathbf{b}_{3})+t^{3}\mathbf{b}_{3}.

Passo 4

Agora agrupamos os termos que multiplicam \mathbf{b}_{0}. O coeficiente de \mathbf{b}_{0} é
C_{0}=(1-t)^{3}+2(1-t)^{2}t+(1-t)t^{2}.
Fatorando (1-t) fica mais claro:
C_{0}=(1-t)\big[(1-t)^{2}+2(1-t)t+t^{2}\big].
Repare que a expressão entre colchetes é uma soma de quadrados/termos que é exatamente ((1-t)+t)^{2}. Assim
(1-t)^{2}+2(1-t)t+t^{2}=((1-t)+t)^{2}=1^{2}=1,
logo
C_{0}=(1-t)\cdot 1=1-t.

Passo 5

Analogamente, agrupamos os termos que multiplicam \mathbf{b}_{3}. O coeficiente de \mathbf{b}_{3} é
C_{3}=(1-t)^{2}t+2(1-t)t^{2}+t^{3}.
Fatorando t obtemos
C_{3}=t\big[(1-t)^{2}+2(1-t)t+t^{2}\big].
Como já vimos, a expressão entre colchetes vale 1. Portanto
C_{3}=t\cdot 1=t.

Passo 6

Concluímos que todos os termos que multiplicam \mathbf{b}_{0} somam 1-t e todos os termos que multiplicam \mathbf{b}_{3} somam t. Assim \mathbf{B}(t) é uma combinação afim apenas de \mathbf{b}_{0} e \mathbf{b}_{3} com esses coeficientes, ou seja, a curva não tem dependência dos pontos intermediários além de forçar esses pesos. Isso mostra que a curva é a reta entre \mathbf{b}_{0} e \mathbf{b}_{3}.

Resposta

(1-t)\mathbf{b}_{0}+t\mathbf{b}_{3}

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