Whenever the control points
, and
of a cubic Bézier curve are collinear, the curve is a straight line. In particular, let
, and
. Show that the cubic Bézier curve simplifies to the linear Bézier curve
.
Passo 1
O enunciado nos dá as quatro informações seguintes:
- Existem pontos de controle
. - Foi especificado que
- A curva Bézier cúbica associada a esses pontos é dada por
para
.
- O objetivo pedido: mostrar que essa
simplifica para a curva linear entre e , isto é, que os coeficientes frontais ficam justamente e .
Passo 2
Pequeno lembrete sobre os coeficientes: os polinômios
,
,
e
são as funções base de Bernstein de grau 3. Eles satisfazem a propriedade de soma unitária:
Isso significa que
é uma combinação afim (de fato convexa para
) dos pontos de controle. Aqui vamos substituir
e
nas posições dadas e simplificar algebricamente.
Passo 3
Substituindo
e
na expressão de
obtemos
As constantes
do numerador e denominador das duas parcelas do meio se cancelam, portanto
Passo 4
Agora agrupamos os termos que multiplicam
. O coeficiente de
é
Fatorando
fica mais claro:
Repare que a expressão entre colchetes é uma soma de quadrados/termos que é exatamente
. Assim
logo
Passo 5
Analogamente, agrupamos os termos que multiplicam
. O coeficiente de
é
Fatorando
obtemos
Como já vimos, a expressão entre colchetes vale
. Portanto
Passo 6
Concluímos que todos os termos que multiplicam
somam
e todos os termos que multiplicam
somam
. Assim
é uma combinação afim apenas de
e
com esses coeficientes, ou seja, a curva não tem dependência dos pontos intermediários além de forçar esses pesos. Isso mostra que a curva é a reta entre
e
.