Evaluate each limit.
lim x infty-x cos x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar
limxtoinftyl(-xcos xr)
O conteúdo principal aqui é reconhecer que cos x oscila entre -1 e 1 e, ao ser multiplicado por xtoinfty, pode gerar comportamento não convergente. Vamos usar o método de subsequências para mostrar que não há limite.

Passo 2

Escolhemos duas subsequências convergentes em direções opostas.
Para xn = 2pi n (com ntoinfty) temos
cos xn = cos(2pi n) = 1 Longrightarrow -,xncos xn = -,2pi n ;xrightarrow[ntoinfty];-,infty
Para yn = pi + 2pi n temos
cos yn = cos(pi + 2pi n) = -1 Longrightarrow -,yncos yn = -,(pi + 2pi n)cdot(-1) = pi + 2pi n ;xrightarrow[ntoinfty];+infty

Passo 3

Como existem subsequências de -xcos x que divergem para +infty e outras que divergem para -infty, a função não se aproxima de nenhum valor (nem finito, nem +infty, nem -infty) quando xtoinfty. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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