(20 pontos)
Verifique se a relação x^2+y^2=C e^2 y, C uma constante, é solução implícita da equação diferencial
d yd x=xx^2+y^2-y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^2+y^2=C e^2y,
onde C é constante, e pede para verificar que ela satisfaz a equação diferencial
dydx=xx^2+y^2-y
O que vamos usar aqui é diferenciação implícita para encontrar dydx a partir da relação dada e então mostrar que coincide com o lado direito acima.

Passo 2

Diferenciando x^2+y^2=C e^2y em relação a x, usamos que y=y(x). Temos
ddx(x^2)+ddx(y^2)=ddxl(C e^2yr)
Isso dá
2x + 2y,dydx = Ccdot e^2ycdot 2,dydx

Passo 3

Observe que da própria relação x^2+y^2=C e^2y segue C e^2y=x^2+y^2. Substituindo isso na derivada obtemos
2x + 2y,dydx =2,(x^2+y^2),dydx
Reagrupando os termos que contêm dydx,
2y,dydx-2(x^2+y^2),dydx =-2x Longrightarrow dydx,l(2y-2(x^2+y^2)r)=-2x
Logo
dydx =-2x2l(y-(x^2+y^2)r) =x,x^2+y^2-y,

Passo 4

Comparando o resultado acima com a equação diferencial
dydx=xx^2+y^2-y,
vemos que coincidem exatamente. Portanto a relação
x^2+y^2=C e^2y
é, de fato, solução implícita da equação dada.

Resposta

A relação x^2+y^2=C e^2y satisfaz a equação diferencial dydx=xx^2+y^2-y.

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