(20 pontos)
Verifique se a relação
uma constante, é solução implícita da equação diferencial
Verifique se a relação
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
onde
é constante, e pede para verificar que ela satisfaz a equação diferencial
O que vamos usar aqui é diferenciação implícita para encontrar
a partir da relação dada e então mostrar que coincide com o lado direito acima.
Passo 2
Diferenciando
em relação a
, usamos que
. Temos
Isso dá
Passo 3
Observe que da própria relação
segue
. Substituindo isso na derivada obtemos
Reagrupando os termos que contêm
,
Logo
Passo 4
Comparando o resultado acima com a equação diferencial
vemos que coincidem exatamente. Portanto a relação
é, de fato, solução implícita da equação dada.
Resposta
A relação
satisfaz a equação diferencial
.