Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y.
6. y=4 x-x^2, y=x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas
y = 4x - x^2
e
y = x
O conteúdo da matéria é o método das cascas cilíndricas, que usa fatias verticais para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração. Igualando
4x - x^2 = x
temos
x^2 - 3x = 0 Longrightarrow x(x - 3) = 0
logo as interseções ocorrem em x=0 e x=3.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, cada fatia vertical em x gera uma casca de raio x, altura igual à diferença entre as funções e espessura ,dx. Aqui a altura é
l(4x - x^2r) - x = 3x - x^2
A fórmula para o volume é
V = 2pi integrala^b (raio)times(a<ura) ,dx = 2pi integral0^3 x,(3x - x^2),dx

Passo 4

Devemos então calcular
V = 2pi integral0^3 l(3x^2 - x^3r),dx
Integramos termo a termo:
integral l(3x^2 - x^3r),dx = x^3 - tfracx^44

Passo 5

Avaliando de 0 a 3,
l[x^3 - tfracx^44r]0^3 = l(27 - tfrac814r) - 0 = tfrac108 - 814 = tfrac274
Multiplicando por 2pi
V = 2pi times tfrac274 = tfrac27pi2

Resposta

V = 27pi2

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