Prove that
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a igualdade
Informações dadas: ambos os lados são expressões racionais em
,
e
. É uma identidade algébrica que devemos verificar.
Passo 2
Primeiro passo técnico: justificar que podemos multiplicar em cruz (cross-multiplicar). Para isso precisamos que o denominador
seja diferente de zero.
Observe que
(pois
), logo
. Assim
portanto
. Podemos, então, multiplicar em cruz sem problemas.
Passo 3
Multiplicando em cruz a igualdade que queremos provar, ela é equivalente a
Nossa tarefa passa a ser expandir o produto à direita e simplificá‑lo, mostrando que dá
.
Passo 4
Para expandir, escrevo primeiro o segundo fator de forma clara:
Vou multiplicar esse polinômio em raízes por cada termo de
e somar os resultados.
Multiplicando por
obtemos
Multiplicando por
usamos as regras
e
. Assim
Agora simplifico
, então
Multiplicando por
procedo do mesmo modo:
Como
, tem-se
Passo 5
Agora somo as três parcelas obtidas (multiplicação por
, por
e por
):
Parcela por
:
Parcela por
:
Parcela por
:
Somando componente a componente:
Constantes:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto a soma é
Passo 6
Concluímos que
o que, dividindo ambos os lados por
(válido porque
), prova exatamente a igualdade pedida.