Prove that \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{12 \sqrt{5}-2 \sqrt{15}+14 \sqrt{3}-7}{11}.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a igualdade
\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{12 \sqrt{5}-2 \sqrt{15}+14 \sqrt{3}-7}{11}.
Informações dadas: ambos os lados são expressões racionais em \sqrt{3}, \sqrt{5} e \sqrt{15}. É uma identidade algébrica que devemos verificar.

Passo 2

Primeiro passo técnico: justificar que podemos multiplicar em cruz (cross-multiplicar). Para isso precisamos que o denominador 1-\sqrt{3}+\sqrt{5} seja diferente de zero.
Observe que \sqrt{5}>\sqrt{3} (pois 5>3), logo \sqrt{5}-\sqrt{3}>0. Assim
1-\sqrt{3}+\sqrt{5}=1+(\sqrt{5}-\sqrt{3})>1>0,
portanto 1-\sqrt{3}+\sqrt{5}\neq0. Podemos, então, multiplicar em cruz sem problemas.

Passo 3

Multiplicando em cruz a igualdade que queremos provar, ela é equivalente a
11\bigl(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}\bigr)=\bigl(1-\sqrt{3}+\sqrt{5}\bigr)\bigl(12\sqrt{5}-2\sqrt{15}+14\sqrt{3}-7\bigr).
Nossa tarefa passa a ser expandir o produto à direita e simplificá‑lo, mostrando que dá 11(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}).

Passo 4

Para expandir, escrevo primeiro o segundo fator de forma clara:
12\sqrt{5}-2\sqrt{15}+14\sqrt{3}-7.
Vou multiplicar esse polinômio em raízes por cada termo de \;1-\sqrt{3}+\sqrt{5}\; e somar os resultados.
Multiplicando por 1 obtemos
1\cdot\bigl(12\sqrt{5}-2\sqrt{15}+14\sqrt{3}-7\bigr)= -7+14\sqrt{3}+12\sqrt{5}-2\sqrt{15}.
Multiplicando por -\sqrt{3} usamos as regras \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} e \sqrt{3}\sqrt{3}=3. Assim
-\sqrt{3}\cdot\bigl(12\sqrt{5}-2\sqrt{15}+14\sqrt{3}-7\bigr)
= -\sqrt{3}\cdot12\sqrt{5} + \sqrt{3}\cdot2\sqrt{15} -\sqrt{3}\cdot14\sqrt{3} + \sqrt{3}\cdot7
= -12\sqrt{15} + 2\sqrt{45} -14\cdot3 +7\sqrt{3}.
Agora simplifico \sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}, então
-\sqrt{3}\cdot(\cdots)= -12\sqrt{15} +2\cdot3\sqrt{5} -42 +7\sqrt{3}
=7\sqrt{3}-42-12\sqrt{15}+6\sqrt{5}.
Multiplicando por \sqrt{5} procedo do mesmo modo:
\sqrt{5}\cdot\bigl(12\sqrt{5}-2\sqrt{15}+14\sqrt{3}-7\bigr)
=12\cdot5 -2\sqrt{75}+14\sqrt{15}-7\sqrt{5}
=60 -2\sqrt{75}+14\sqrt{15}-7\sqrt{5}.
Como \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}, tem-se
\sqrt{5}\cdot(\cdots)=60 -2\cdot5\sqrt{3}+14\sqrt{15}-7\sqrt{5}
=60-10\sqrt{3}+14\sqrt{15}-7\sqrt{5}.

Passo 5

Agora somo as três parcelas obtidas (multiplicação por 1, por -\sqrt{3} e por \sqrt{5}):
Parcela por 1:
-7+14\sqrt{3}+12\sqrt{5}-2\sqrt{15}
Parcela por -\sqrt{3}:
7\sqrt{3}-42-12\sqrt{15}+6\sqrt{5}
Parcela por \sqrt{5}:
60-10\sqrt{3}+14\sqrt{15}-7\sqrt{5}
Somando componente a componente:
Constantes:
-7-42+60=11.
Coeficiente de \sqrt{3}:
14\sqrt{3}+7\sqrt{3}-10\sqrt{3}=(14+7-10)\sqrt{3}=11\sqrt{3}.
Coeficiente de \sqrt{5}:
12\sqrt{5}+6\sqrt{5}-7\sqrt{5}=(12+6-7)\sqrt{5}=11\sqrt{5}.
Coeficiente de \sqrt{15}:
-2\sqrt{15}-12\sqrt{15}+14\sqrt{15}=(-2-12+14)\sqrt{15}=0.
Portanto a soma é
11+11\sqrt{3}+11\sqrt{5}=11\bigl(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}\bigr).

Passo 6

Concluímos que
\bigl(1-\sqrt{3}+\sqrt{5}\bigr)\bigl(12\sqrt{5}-2\sqrt{15}+14\sqrt{3}-7\bigr)=11\bigl(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}\bigr),
o que, dividindo ambos os lados por 11(1-\sqrt{3}+\sqrt{5}) (válido porque 1-\sqrt{3}+\sqrt{5}\neq0), prova exatamente a igualdade pedida.

Resposta

\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{12 \sqrt{5}-2 \sqrt{15}+14 \sqrt{3}-7}{11}.

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