Use Part 1 of the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrarmos a derivada
. Informações importantes fornecidas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - O limite inferior é a constante
. - O limite superior é
(a variável em que queremos a derivada).
A pergunta explícita: calcular.
Passo 2
Apresento a ferramenta principal que vamos usar (Fundamental Theorem of Calculus — Parte 1). Seja
onde
é contínua num intervalo contendo
e
. O teorema afirma que
é diferenciável e
Explicando em linguagem simples: a integral
mede a “área acumulada” de
desde
até
. Ao derivar essa área acumulada em relação a
, obtemos a altura instantânea da função
no ponto
, ou seja,
. Aqui
é o integrando visto como função de
, e
é a taxa de variação de toda a área quando eu mudo o ponto final
.
Passo 3
Verificamos a condição de aplicabilidade: precisamos que
seja contínua.
- A função
é um polinômio, logo contínua para todo . - A função exponencial
é contínua para todo . - A composição de funções contínuas é contínua.
Portantoé contínua para todo , e podemos aplicar o teorema direto.
Passo 4
Aplicando o teorema ao caso dado: como
e o integrando é contínuo, temos imediatamente
Pequena observação útil para prova/exames: se o limite superior fosse uma função
(isto é,
), então pela regra da cadeia a derivada seria
Exemplo rápido para fixar: se
, então
.
Passo 5
Conclusão final do cálculo para o problema: aplicando diretamente o Fundamental Theorem of Calculus (Parte 1) ao nosso
, obtemos a derivada pedida.