Use Part 1 of the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function.
g(x)=\int_{3}^{x} e^{t^{2}-t} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\int_{3}^{x} e^{t^{2}-t}\,dt
e pede para encontrarmos a derivada g'(x). Informações importantes fornecidas:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é e^{t^{2}-t}.
  • O limite inferior é a constante 3.
  • O limite superior é x (a variável em que queremos a derivada).
    A pergunta explícita: calcular g'(x).

Passo 2

Apresento a ferramenta principal que vamos usar (Fundamental Theorem of Calculus — Parte 1). Seja
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
onde f é contínua num intervalo contendo a e x. O teorema afirma que F é diferenciável e
F'(x)=f(x).
Explicando em linguagem simples: a integral \int_{a}^{x} f(t)\,dt mede a “área acumulada” de f desde a até x. Ao derivar essa área acumulada em relação a x, obtemos a altura instantânea da função f no ponto x, ou seja, f(x). Aqui f(t) é o integrando visto como função de t, e F'(x) é a taxa de variação de toda a área quando eu mudo o ponto final x.

Passo 3

Verificamos a condição de aplicabilidade: precisamos que f(t)=e^{t^{2}-t} seja contínua.
  • A função t\mapsto t^{2}-t é um polinômio, logo contínua para todo t.
  • A função exponencial u\mapsto e^{u} é contínua para todo u.
  • A composição de funções contínuas é contínua.
    Portanto f(t)=e^{t^{2}-t} é contínua para todo t, e podemos aplicar o teorema direto.

Passo 4

Aplicando o teorema ao caso dado: como g(x)=\int_{3}^{x} e^{t^{2}-t}\,dt e o integrando é contínuo, temos imediatamente
g'(x)=e^{x^{2}-x}.
Pequena observação útil para prova/exames: se o limite superior fosse uma função u(x) (isto é, \int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt), então pela regra da cadeia a derivada seria
\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x).
Exemplo rápido para fixar: se H(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sin t\,dt, então H'(x)=\sin(x^{2})\cdot 2x.

Passo 5

Conclusão final do cálculo para o problema: aplicando diretamente o Fundamental Theorem of Calculus (Parte 1) ao nosso g, obtemos a derivada pedida.

Resposta

g'(x)=e^{x^{2}-x}

Exercícios relacionados