Evaluate the trace of the rotation matrix D^1 / 2(alpha, beta, gamma) for the following cases: (a) beta=pi and (b) alpha=gamma=pi and beta=2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a traça da matriz de rotação $ D^{1/2}(\alpha, \beta, \gamma) $ em dois casos específicos: (a) quando $ \beta = \pi $ e (b) quando $ \alpha = \gamma = \pi $ e $ \beta = 2\pi $.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de matrizes de rotação e, mais especificamente, da matriz de Wigner $ D^{1/2} $, que está relacionada com as rotações no espaço quântico para partículas com spin ½. Vamos dar uma olhada nos detalhes para resolver cada parte do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz de Wigner $ D^{j}(\alpha, \beta, \gamma) $. Ela representa uma rotação no espaço tridimensional usando os ângulos de Euler $ \alpha $ (rotação em torno do eixo z), $ \beta $ (rotação em torno do eixo y) e $ \gamma $ (segunda rotação em torno do eixo z).
Para o caso específico de $ j = 1/2 $, que corresponde a partículas com spin ½, a matriz $ D^{1/2} $ é uma matriz 2x2 dada por:
D^j(alpha, beta, gamma)
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, e os ângulos $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $ são os ângulos de Euler mencionados.

Passo 3

Agora, vamos calcular a traça dessa matriz. A traça de uma matriz é simplesmente a soma dos elementos da diagonal principal. Então, para $ D^{1/2}(\alpha, \beta, \gamma) $, a traça é:
D^1/2(alpha, beta, gamma)
Simplificando, obtemos:
Tr(D^1/2) = e^-i alpha / 2 [ cos(beta2) + cos(beta2) ] = 2 e^-i alpha / 2 cos(beta2)

Passo 4

Vamos agora aplicar isso ao caso (a), onde $ \beta = \pi $.
Substituindo $ \beta = \pi $ na expressão da traça:
beta = pi
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, então:
beta = pi

Passo 5

Agora, vamos para o caso (b), onde $ \alpha = \gamma = \pi $ e $ \beta = 2\pi $.
Primeiro, substituímos $ \beta = 2\pi $ na expressão da traça:
alpha = gamma = pi
Sabemos que:
beta = 2pi
E:
beta = 2pi
Substituindo esses valores:
Tr(D^1/2) = 2 e^-i (pi) / 2 cos(2pi2) = 2 e^-i pi / 2 cos(pi)

Resposta

(a) A traça da matriz de rotação é $ 0 $.
(b) A traça da matriz de rotação é $ 2i $.

Exercícios relacionados