Evaluate the trace of the rotation matrix
for the following cases: (a)
and (b)
and
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a traça da matriz de rotação $ D^{1/2}(\alpha, \beta, \gamma) $ em dois casos específicos: (a) quando $ \beta = \pi $ e (b) quando $ \alpha = \gamma = \pi $ e $ \beta = 2\pi $.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de matrizes de rotação e, mais especificamente, da matriz de Wigner $ D^{1/2} $, que está relacionada com as rotações no espaço quântico para partículas com spin ½. Vamos dar uma olhada nos detalhes para resolver cada parte do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz de Wigner $ D^{j}(\alpha, \beta, \gamma) $. Ela representa uma rotação no espaço tridimensional usando os ângulos de Euler $ \alpha $ (rotação em torno do eixo z), $ \beta $ (rotação em torno do eixo y) e $ \gamma $ (segunda rotação em torno do eixo z).
Para o caso específico de $ j = 1/2 $, que corresponde a partículas com spin ½, a matriz $ D^{1/2} $ é uma matriz 2x2 dada por:
Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, e os ângulos $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $ são os ângulos de Euler mencionados.
Passo 3
Agora, vamos calcular a traça dessa matriz. A traça de uma matriz é simplesmente a soma dos elementos da diagonal principal. Então, para $ D^{1/2}(\alpha, \beta, \gamma) $, a traça é:
Simplificando, obtemos:
Passo 4
Vamos agora aplicar isso ao caso (a), onde $ \beta = \pi $.
Substituindo $ \beta = \pi $ na expressão da traça:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $, então:
Passo 5
Agora, vamos para o caso (b), onde $ \alpha = \gamma = \pi $ e $ \beta = 2\pi $.
Primeiro, substituímos $ \beta = 2\pi $ na expressão da traça:
Sabemos que:
E:
Substituindo esses valores:
Resposta
(a) A traça da matriz de rotação é $ 0 $.
(b) A traça da matriz de rotação é $ 2i $.