Evaluate the transformation of the operators Jx, Jy and Jz under a rotation of a finite angle theta around the x-axis. Using the obtained transformations determine how the angular momentum operator J transforms under the rotation.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente ver como os operadores de momento angular Jx, Jy e Jz mudam quando a gente faz uma rotação de um ângulo finito theta ao redor do eixo x. Além disso, queremos descobrir como o operador de momento angular total J se transforma nessa rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores de momento angular e como eles se comportam sob rotações no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, operadores como Jx, Jy e Jz representam as componentes do momento angular. Quando aplicamos uma rotação no sistema, precisamos saber como esses operadores se transformam para manter as mesmas relações físicas.

Passo 3

A transformação de um operador sob uma rotação é dada pela fórmula:
J'i = e^-i theta Jx / hbar Ji e^i theta Jx / hbar
Aqui, J'i é o operador transformado, theta é o ângulo de rotação, Jx é o operador de momento angular em torno do eixo x, e hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para cada componente: Jx, Jy e Jz.
Para Jx:
J'x = e^-i theta Jx / hbar Jx e^i theta Jx / hbar
Como Jx comuta consigo mesmo, ou seja, [Jx, Jx] = 0, a expressão simplifica para:
J'x = Jx
Isso significa que a componente x do momento angular não muda sob a rotação ao redor do eixo x.

Passo 5

Agora, para Jy e Jz, precisamos usar as relações de comutação dos operadores de momento angular:
[Jx, Jy] = i hbar Jz
[Jx, Jz] = -i hbar Jy
Essas relações nos ajudarão a expandir a exponencial usando a série de Taylor e calcular os operadores transformados.

Passo 6

Aplicando a expansão da exponencial e utilizando as relações de comutação, obtemos:
J'y = Jy cos theta - Jz sin theta
J'z = Jy sin theta + Jz cos theta
Isso mostra que as componentes y e z do momento angular se combinam de forma trigonométrica sob a rotação ao redor do eixo x.

Passo 7

Agora, para determinar como o vetor de momento angular J se transforma, vamos juntar as componentes transformadas:
J' = J'x i + J'y j + J'z k
Substituindo as transformações que encontramos:
J' = Jx i + (Jy cos theta - Jz sin theta) j + (Jy sin theta + Jz cos theta) k

Resposta

Após a rotação, os operadores transformados são:
J'x = Jx
J'y = Jy cos theta - Jz sin theta
J'z = Jy sin theta + Jz cos theta
E o operador de momento angular total transformado fica:
J' = Jx i + (Jy cos theta - Jz sin theta) j + (Jy sin theta + Jz cos theta) k

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