Evaluate the transformation of the operators
and
under a rotation of a finite angle
around the
-axis. Using the obtained transformations determine how the angular momentum operator
transforms under the rotation.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente ver como os operadores de momento angular
,
e
mudam quando a gente faz uma rotação de um ângulo finito
ao redor do eixo
. Além disso, queremos descobrir como o operador de momento angular total
se transforma nessa rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores de momento angular e como eles se comportam sob rotações no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, operadores como
,
e
representam as componentes do momento angular. Quando aplicamos uma rotação no sistema, precisamos saber como esses operadores se transformam para manter as mesmas relações físicas.
Passo 3
A transformação de um operador sob uma rotação é dada pela fórmula:
Aqui,
é o operador transformado,
é o ângulo de rotação,
é o operador de momento angular em torno do eixo
, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para cada componente:
,
e
.
Para
:
Como
comuta consigo mesmo, ou seja,
, a expressão simplifica para:
Isso significa que a componente
do momento angular não muda sob a rotação ao redor do eixo
.
Passo 5
Agora, para
e
, precisamos usar as relações de comutação dos operadores de momento angular:
Essas relações nos ajudarão a expandir a exponencial usando a série de Taylor e calcular os operadores transformados.
Passo 6
Aplicando a expansão da exponencial e utilizando as relações de comutação, obtemos:
Isso mostra que as componentes
e
do momento angular se combinam de forma trigonométrica sob a rotação ao redor do eixo
.
Passo 7
Agora, para determinar como o vetor de momento angular
se transforma, vamos juntar as componentes transformadas:
Substituindo as transformações que encontramos:
Resposta
Após a rotação, os operadores transformados são:
E o operador de momento angular total transformado fica: